实验与探究 设计跑道优秀公开课教案

人教版义务教育教材◎数学九年级上册第24章《圆》——2018年市级公开课 授课人：张育丽老师

24. 4 弧长和扇形面积（第1课时）

张育丽

【内容分析】

1.

课标要求：

新课标要求学生会计算弧长和扇形的面积，了解弧长和扇形面积公式的推导过程，掌握计算公式，并能应用公式解决实际问题

本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书人教版九年级上册第24章《圆》中的

“弧长和扇形面积”，这节课是学生在前阶段学完了

“圆的认识”、

“与圆有关的位置关系”的基础上进行的拓展与延伸。本课由特殊到一般，探索弧长及扇形面积公式，并运用公式解决一些具体问题，为学生今后的学习及生活更好地运用数学作准备。

2.

教材分析：

①知识层面：在小学阶段，学生已经学过了圆周长和圆面积的计算公式，由于弧是圆周的一部分，扇形是圆面的一部分，因此，本节课师生共同推导出弧长和扇形的计算公式，其关键是计算出弧长占圆周长的几分之几，扇形面积是圆面积的几分之几。可以从求特殊角度的圆心角所对的弧长和扇形面积入手，探索出1°时所对的弧长和扇形面积，从而得出弧长和扇形面积的计算公式，并能应用于实际问题当中去，为下一节课“圆锥的侧面积”的学习打下基础。

②能力层面：学生已经学过了圆周长和圆面积的计算公式，由于弧是圆周的一部分，扇形是圆面的一部分，因此，推导出弧长和扇形的计算公式要让学生感悟到“局部与整体”、“特殊到一般”的数学思想。通过数学活动过程，让学生不仅能获得知识和技能，而且还能体会这些知识背后更为本质的内容，也可使学生掌握类比方法，养成良好的学习习惯，从整体上促进学生数学素养的提高。

③思想层面：本节课从特殊到一般的探索推导过程蕴含着数学归纳思想，同时，学生从整体（周长、圆面积）到局部（弧长、扇形面积）的体会到数学的美，渗透了数形结合的思想，而且从弧长与周长、扇形面积与圆面积、弧长与扇形面积公式之间的“类比探究”，为今后提高学生的阅读能力奠定了基础。

3.学情分析

授课对象是初三的A层学生，这部分学生基础较好，思维能力较高，有一定的知识水平和自主学习、解决问题能力，在此基础上通过教师引导、小组合作交流探索弧长公式，类比弧长公式的探索过程，尝试探索扇形面积计算公式，运用公式解决实际问题。

【教学目标】

知识与技能

1．理解弧长公式、扇形面积公式的推导；

2．会运用公式计算弧长、扇形面积。

过程与方法

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养探索精神与推理能力；

2．通过计算，提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力。

1

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情感态度和价值观

1．通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心；

2．通过观察、推断可以获得教学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性。

【教学重点】

1．推导弧长及扇形面积计算公式的过程。

2．掌握弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题。

【教学难点】

推导弧长及扇形面积计算公式的过程。

【教学方法】

引导发现法、启发猜想、讲练结合法。

【课前准备】

教师准备：课件、多媒体。

学生准备：三角板、圆规、导学案、练习本。

【教学过程】

一、问题导入：

制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L。

教师活动：教师通过多媒体管道图片，提出问题。在学生回答的基础上指出：关键是应该知道这个弯道的“展直长度”，如何计算？从而引出课题。

学生活动：学生观察图片，思考老师提出的问题。

受数学来源于生活。

二、新课教学

在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索。

1．弧长的计算公式。

思考：

（1）如何计算半径为R的圆的圆周长？

（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？

（3）1°的圆心角所对的弧长是多少？

（4）n°的圆心角呢？

设计意图：从学生熟悉的问题情景引入课题，从而吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣，感2

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从而得出弧长的计算公式。

在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2πR，所以1°的圆心2RRnR角所对的弧长是，即.于是n°的圆心角所对的弧长为l．

360180180教师活动：教师用多媒体展示问题。教师在学生回答的基础上，师生归纳得出弧长计算公式。

学生活动：学生思考问题，交流看法。

设计意图：通过复习圆周长公式以及圆心角和其所对弧的关系，在老师的引导下得出弧长计算公式，明确弧长与圆心角、半径之间的关系。

2．探究：解决管道问题的展直长度L。

100900解：由弧长公式，得的长： l＝500π（mm）．

180因此,所要求的展直长度: L＝2×700＋500π＝1400+500π（mm）．

教师活动：教师用多媒体展示刚才的问题，让学生运用公式解决问题。

学生活动：学生观察图形，解决问题。

设计意图：巩固公式，能运用公式解决问题。

3．扇形的概念和扇形面积的计算公式。

将弯形管道的两端截取，如右图所示：

教师活动：教师给出扇形图形。

学生活动：学生观察图形，尝试归纳概念。

设计意图：加深学生记忆，熟悉扇形图形。

如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。可以发现，扇形的面积除了与圆的半径有关外，还与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。怎样计算圆半径为R=900m，圆心角为100°的扇形面积呢？

思考：由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分。想一想: (1)

如何计算半径为R的圆的面积？

(2)

圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形面积？

(3)

1°的圆心角所对的扇形面积是多少？

(4)

n°的圆心角呢？

教师活动：教师给出问题，指导有困难的学生。

学生活动：学生类比弧长公式的探讨过程，合作交流探讨扇形面积计算公式。

设计意图：锻炼学生探索新知能力，教会学生一种数学思想和方法，加深学生对扇形面积公式的理解和记忆。

从而得出弧长的计算公式。

在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形面积就是圆面积S＝πR 2，

R2nR2所以1°的扇形面积是，于是圆心角为n°的扇形面积是S＝．

360扇形360

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4．弧长与扇形面积的关系。

我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算n2公式为l＝πR ，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝nπR ，在这两个公式中，弧长180360和扇形面积都和圆心角n、半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？

教师活动：教师给出问题。

学生活动：学生观察弧长和扇形面积公式，讨论交流。

设计意图：学生比较两个公式，找它们的联系，明确知识之间的联系，在解题时，根据条件，选择适当的公式。

∵l＝nn11nnπR，S扇形＝πR 2， ∴πR 2＝R·πR． ∴S扇形＝lR．

360180221803605.拓展延伸：

设计意图：拓展思维，形象类比记忆公式。

三、巩固练习

（一）关于弧长公式： （二）关于扇形概念：

1.已知弧所对的圆心角是90°，半径是4， 则弧长是 2 .

2.已知一条弧的半径是9，弧长是8，那么

这条弧所对的圆心角是 160° .

3.钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经

过40分钟，分针针端转过的弧长是（B）

A.10cm B.20cm 33

2550cm D.cm

C.33

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(三)关于扇形面积公式：

1.已知扇形的圆心角为30°，面积为3cm2，则这个扇形的半径是 6cm . 2.已知扇形的半径为24cm，弧长为20cm，则这个扇形的面积是240 cm2. （四）效果检测

1.如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB、AC夹角为120°,AB的长为30cm,贴纸部分中的BD的长为20cm,则

（1） = 20cm， = 20800 cm ; （2）贴纸部分的面积为 cm2. 332.如图所示，OCA绕着点O逆时针方向旋转90°至ODB，OC=1,OB=3，问：在旋转过程中，边AC所扫过的面积是多少？

变式：如图， OCA绕着点O逆时针方向旋转一定的角度至ODB，问：在旋转过程中，旋转角是多少？边AC所扫过的面积是多少？

3.

如图,矩形ABCD的边AB=1,BE平分∠ABC,交AD于点E,若点E是AD的中点,以点B为圆心,BE为半径画弧,交BC于点F, 求：图中阴影部分的面积.

算当中容易出现错误的地方。

学生活动：学生观察图形，小组合作，寻求解题方法。

设计意图：巩固扇形面积公式，让学生明确求阴影部分的面积可转化为扇形面积与三角形、四边形面积的和或差。培养学生解决实际问题，让学生体验成功的乐趣。

课堂备用题：

1.如图,某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形ABD的面积为多少？

2.如图，已知菱形ABCD的边长为1.5，B，C两点在扇形AEF的弧EF上，求： 及扇形ABC的面积. （第1题）

（第2题）

（第3题）

2,

3,且OC=1，2教师活动：教师适当引导，及时发现问题，板书解题过程，同时强调公式中各字母的意义与计

5 （第1题）

（第2题）

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四、课堂小结

本节课应该掌握：1．弧长的计算公式．lnR. 180nR22．扇形的面积公式．S扇形＝．

3603．弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方。S扇形＝1lR．

2教师活动：教师在学生发表的基础上强调：

（1）弧长和扇形面积公式及相互关系。

（2）求阴影部分的面积可转化为扇形面积和三角形、四边形面积的和或差。

学生活动：学生尝试归纳本节课所学内容。

设计意图：总结回顾学习内容，帮助学生学会归纳，反思。

五、布置作业 自编配套作业一份。

教师活动：根据备课预测，自编一份配套校本作业。

学生活动：学生独立完成。

设计意图：巩固所学知识，反映学习效果。

【板书设计】

课题：弧长和扇形面积

导入问题

1.

弧长公式： 多媒体投影

R 2、扇形面积公式:

，S1扇形＝2lR．

2

解题过程

学生板演练习

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24. 4 《弧长和扇形面积》（第1课时）教学反思

“弧长和扇形面积”作为圆这一章中的重要组成部分，是在研究了圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等之后，进一步研究的圆中有关弧、扇形、圆心角、圆等之间的数量关系。“弧长和扇形的面积”是在小学学过的圆周长、面积公式的基础上推导出来的，应用这些公式，可以计算一些与圆有关的简单组合图形的周长和面积。由于圆锥的侧面展开图是扇形，所以教科书接下来介绍了圆锥的侧面积和全面积的计算，它们是本节课“圆的弧长和扇形面积”的直接应用，这是第二课时的内容。所以本节课起到承上启下的作用。本节内容涉及的数学思想方法比较多。例如，在小学学过的圆周长、面积公式的基础上推导出弧长和扇形面积，体现的一般到特殊、整体与局部、类比等数学思想。对于这节课的设计，从学生熟悉的问题情景引入课题，吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣。新课标中的理念，联系实际，体现知识的形成过程和应用过程突出建立数学模型的思想。在本节课设计从刚开始抛出的问题情境的求弯形管道的展直长度、钟表分针所走过的长、扇面贴纸的面积等这些在日常生活中的实际问题，引导学生运用这些知识解决一些简单的实际问题．在处理这些问题时，本节课力争做到引导学生建立数学模型的意识，提高对数学内容及其应用的理解，从而体现“实践-理论-实践”的认识过程．改变过去教学中“概念-解法-应用”分三段的传统教学模式，将概念和解法融于对实际问题的分析和解决过程之中．在探求弧长公式时，通过提问一步一步引导学生获得弧长公式，让学生知道公式是怎么得来的。对于扇形面积公式，让学生类比弧长公式的探讨过程，通过讨论，合作探究方法让学生巩固了公式的形成过程，力争做到“以学生为主体，教师为主导”的教学理念。培

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养了学生应用数学、探究意识和创新能力。由于内容不是很难，所以整个教学过程学生都能积极参与，课堂气氛比较活跃，但在应用解题时，从讲台上下来巡视时发现部分学生计算能力欠缺，仍有计算错误。针对这种情况，在课后的作业设计中也有做了这方面的加强。对以前所学的分数运算、约分等相关计算能力及知识进行必要的再现，针对计算过程中出现较多的一些错误多设计一些练习题加以巩固，以提高学生的计算能力。

尽管整节课下来有以上值得肯定之处，但仍然存在以下几点不足之处：

1、课堂节奏把握得不够准确，讲解例题时所花时间过多，导致最后的练习不够充分。

2、鼓励性语言使用得还不够多。在以后的教学中，不但要利用口头语言，还要利用肢体语言进行对学生的鼓励。

在今后的教学中，我将不断追求更高目标，努力使自己的课堂教学更加生动、活跃

，使学生真正在快乐中学习，享受学习的快乐。

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