回顾与思考教案（名师）

第三章

变量之间的关系

1.

用表格表示变量的关系

一、知识点

1.

变量：在一个变化的过程中，我们把

量为

，数值

的量称为

。

2.

在一个变化的过程中，有两个变量x,y，如果变量x在一定范围内取一个数值是，另一个变量y都有

，那么前一个变量x叫做

，后一个变量y叫

。（把y叫做x的函数）。

注意：①在一定范围内，主动变化的变量叫自变量。

②随自变量的变化而发生变化的量是因变量。

二、新课知识运用

例1：在烧开水时，水温达到100℃时，水就会沸腾，下表是某同学做观察水的沸腾实验的记录的数据。

时间（min）

0 温度（℃）

2 4 6 8 10 12 14 16 ... 30 44 58 72 86 100 100 100 100 ... （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？那个是自变量？那个是因变量？

（2）水温是如何随着时间变化而变化的？

（3）时间每推移2min,温度的变化情况如何？

（4）时间为8min时，水温是多少？你能猜测9min时水的温度吗？

（5）根据表格，你认为16min,18min时水的温度分别是多少？

（6）为了节约能源，你应该在什么时间停止烧水？

例2:弹簧挂上物体后伸长，已知弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（g）之间的关系如下表，但所挂物体的质量不能超过1000克，实验数据如下：

（1）此题中哪个是自变量？哪个是因变量？它们有什么关系？

物体质量（g）

弹簧长度（cm）

100 11 200 12 300 13 400 14

（2）你能否猜测所挂重物质量为800克时，弹簧的总长度是多少？弹簧总长度为15cm时，所挂重物的质量是多少？

（3）不挂重物，弹簧的长度是多少？在弹簧限度内弹簧的最大长度是多少？

例3：下表是小莉给外婆打电话的收费记录：

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）如果用x表示时间，y表示电话费，那么随着x的变化，y的变化趋势是怎样的？

（3）小莉打了5分钟的电话，那么需要多少元电话费？

（4）x每增加1min，y的变化情况相同吗？

（5）请你估计一下，如果打了10min的电话，需要多少元话费，你时间（min）

1 2 3 4 5 6 7 电话费（元）

0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2

是怎样估计的？

例4：下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为560元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生的相应的变化：

降价（元）

5 10 15 20 25 30 35

日销量（件）

780 810 840 870 900 930 960 这个表反映了

个变量之间的关系，

是自变量，

是因变量，从表中可以看出每降价5元，日销量增加

件，从而估计降价之前的日销量为

件，如果售价为500元，日销量是件，如果售价为x元，日销量为

件。

例5：声音在空气中的传播速度v（米/秒）与温度t（℃）之间的关系如下表：

（1）变量是

，

其中是自变量，

是因变量

（2）写出速度v与温度t之间的关系。

（3）当t25℃时，求声音的传播速度。

t（℃）

1 2 3 4 5 v（米/秒）

331+0.6 331+1.2 331+1.8 331+2.4 331+3.0 2.

用关系式表示变量之间的关系

一、知识回顾

1.

在某一变化过程中，

的量是变量，

的量是常量。

2.

在一个变化过程中，有

，其中变量y随着另一个变量x的变化而变化，其中x叫做

，y叫做

。

3.

在一个变化的过程中，有两个变量x,y，如果变量x在一定范围内取一个数值是，另一个变量y有

，那么变量x叫做

，变量y叫做

。

4.

关系式：表示

的关系的数学式叫做关系式。

二、应用

例1:已知△ABC底边BC上的高是16cm，当三角形的顶点C沿底边所在的直线向点C3运动时，三角形的面积发生了变化。

（1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 。

（2）如果△ABC的底边长为x（cm）,那么

△ABC的面积y（cm2)可以表示为：

。

注意：

①关系式是等式；

②关系式左边是

，右边也是

。

③关系式中只含有

和

这两个变量，其他的量都是

.

④自变量可以在允许范围内取值,即满足关系式，又要满足实际问题. 例2：已知:池中有600m3的水，每小时抽50m3，

（1）写出剩余水的体积Q（m3）与时间t（h）之间的关系式；

（2）写出自变量的取值范围；

（3）8h后，池中有多少水?

（3）几小时后，池中有100m3的水？

例3：已知等腰三角形的周长为20cm，腰长为xcm，底边长为ycm。

（1）写出底边长y（cm）与腰长x（cm）的关系式，并写出自变量、因变量。

（2）求出腰长xcm的取值范围。

练习：1.用长为50厘米的铁丝围成一个长方形，长方形的面积S与长方形的长a之间的关系式是

，自变量的取值范围

是

。

1.

.设地面气温为20℃，如果每升高1千米，气温下降6℃；如果用h（千米）表示高度，气温用t（℃）表示，那么用含h的代数式表示t:

。

例4：为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过20吨是，按每吨2元计费，每月用水量超过20吨时，其中的20吨仍按每吨2元计费，超过的部分按每吨2.8元计费，设每户家庭的用水量为x吨时，应缴水费y元；

（1）分别求出0x20和x20时，y与x之间的表达式；

（2）小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元。38元，那么小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？

例5:医疗报销标准如下：

医疗费用范围

不超过8000元

超过8000元且不超过30000元的部分

超过30000且不超过50000元的部分

超过50000的部分

报销比例标准

不予报销

50% 60% 70% 设某居民一年的住院医疗费为x元，报销金额为y元，

（1）直接写出x5000时，y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（2）某居民住院医疗费用按指标报销了20000元，求他的住院医疗费。

例6.

某商店为减少商品的积压采取降价销售的策略，某商品原价为520元，下表为日销量y（件）随着降价x（元）的变化发生相应的变化：

（1）写出日销量y与降价x之间的关系式；（2）写出自变量和因变量。

降价x（元）

10 20 30 40 50 60 日销量y（件）

155 160 165 170 175 180

例7：某文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为30元，文具盒每个为5元，该店制定了两种优惠方案：①买一个书包送一个文具盒；②按总价的9折付款。某班学生需要购买8个书包，若干个文具盒（不少于8个），如果设文具盒为x（个），付款为y（元）。

（1）分别求出两种优惠方案中y与x之间的关系式；写出自变量的取值范围。

（2）购买文具盒多少个时，两种方案的付款相同？

3.用图像表示变量之间的关系（一）

一、知识回顾

1.

一种树苗的高度用h表示，树苗生

年数a

高度h

cm 长的年数用a表示，测得有关的数据如

下表：（树苗原高100cm）

①用年数a的代数式表示高度h，

h=

。

②当树苗长到200cm高时，年数

a=

。

1 2 3 4 ... 100+5 100+10 100+15 100+20 ... ③在本题中，有

和

两个变量，其中

是自变量，

是因变量。

2.

表示两个变量之间的关系，除了

和

之外，还有

。

用图形表示变量之间的关系，通常用水平方向（或横轴）上的点表示

。

用竖直方向（或纵轴）上的点表示

。

其中点A表示

。

点B表示

。

从B到A，图像呈

，则h随a的

。

二、应用

例1：①水平方向表示是

，

竖直方向表示是

。

这个图像表示

和

之间的关系，其中

是自变量，

是因变量。

②上午9时

℃，12时

℃。

③在 （时间）范围内温度在上升，在 （时间）范围内温度在下降。

④这一天最高温度是 ℃，时间是 时，最低温度是 ℃，时间是 时。

⑤图中A点表示 ，B点表示 。

⑥这一天的温差是 ，从最低温度到最高温度经过 小时。

⑦你能预测次日凌晨1时的温度是 ℃，理由是 。

例2：一农民带若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价出售一些后，有降价出售，售出土豆的千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图形回答下列问题：

（1）农民自带的零钱是多少？

（2）降价前他每千克土豆的售价是多少？

（3）降价后他按每千克0.4元将剩余的特点售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少土豆？

例3：如图一，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，在这个变化过程中，变量x表示点R运动的路程，变量y表示△MNR的面积，用图二表示变量y随变量x的变化情况，求（1）y与x的关系式（2）当y9时，R所在的边。

例4：有一个附有进水管的容器，每单位时间内进水量都是一定的，

设从某时刻开始的4分钟内只进水，在随后的8分钟内即进水，又出水，得到时间x（分）与容器内水量y（升）之间的关系如图所示：

（1）点A表示的意义是什么？

（2）求进水管每分钟进水多少升，出水管每分钟出水多少升？

（3）当4x12时，请写出y与x的关系式。

小结：用图像法表示变量之间的关系，体现 的数学思想，它的 反映变量之间的关系，一般地， 表示 ，纵轴表示 ，并在箭头出标明 。

2.

用图像表示变量之间的关系（二）

一、知识回顾：

1.

变量间关系的表示方法有 。

2.

在某一变化过程中，数值始终不变的量叫 ，数值不断发生改变的量叫 。

3.

如果在某个变化过程中有两个变量x,y，且y随x的变化而变化，那么x叫 ，y叫 。

4.

在一个变化的过程中，有两个变量x,y，如果变量x在一定范围内取一个数值是，另一个变量y有

，那么变量x叫做

，变量y叫做

。

5.

图像法表示变量，用互相垂直的两个数轴表示两个变量，横轴表示

，纵轴表示

。

二、新知

例1：下面的图表示一辆汽车的速度随时间的变化而变化的情况。

（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高速度是多少？

（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶，速度分别是多少？

（3）出发后8分钟到10分钟之间可能发生了什么情况？

（4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。

例2：①柿子熟了，从树上落下来，下面的哪一幅图可以大致刻画柿子下落过程中（即落地前）的速度变化情况？

②一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶。过了一段时间，汽车到达下一个车站，乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶。下面的哪一幅图可以近似地刻画汽车在这段时间内的速度变化情况？

例3：甲乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛的路

程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图像如图所示：

（1）这次比赛的全程是

米，先到达终点的一队比另一队领先

分钟。

（2）从出发到2.2分钟的时间段甲的速度比乙的速度

（“快”或“慢”）。

小结：1.速度、时间图像各部分所代表的意义. a代表物体速度

；

b代表物体速度

；

c代表物体速度

。

2.路程、时间图像该部分所代表的意义：

a代表物体速度

；

b代表物体速度

；

c代表物体速度

。

3.

路程、时间图像该部分所代表的意义：

a代表物体速度

；

b代表物体速度

；

c代表物体速度

。

练习：“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子的价格打6折，设购买种子数量为x千克，付款金额为y元，则y与x的图像大致是

（

）

2.甲

骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B 地去A地，同时开出，匀速行驶，各自到达

终点后停止。设甲、乙两人间的距离为s（单

位：千米），甲行驶的时间为t（单位：时），

s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：

（1）出发1小时时，甲、乙在途中相遇；

（2）出发1.5小时时，乙比甲多行驶60千米；

（3）出发3小时时，甲、乙同时到达终点；

（4）甲的速度是乙的一半. 其中，正确结论的个数是

（

）

A.

4

B. 3

C. 2

D. 1 4.

某机动车出发前油箱中有油42升，行驶若干小时候，在途中加油站加油若干，油箱中余油量Q（升）与行驶时间t（时）之间的关系如图所示，请根据图像填空。

（1）机动车行驶了

小时候加油，中途加油

升；

（2）加油后油箱中的油最多可以行驶

小时；

（3）如果加油站距目的地还有230千米，机动车每小时行驶40千米，油箱中的油能否使机动车达到目的地。