2.1.1 函数的概念和图象优质课教学设计

课题：函数值域的求法---第一课时

教学目标：

1、理解函数值域的概念；

2、掌握求函数值域的常用方法；

3、理解有关复合函数的值域分析。

教学重点、难点：求函数的值域与最值的基本方法。

考点1：函数的值域与最值

1、函数的值域：函数的结构包括定义域，对应法则和值域，其中值域由定义域和对应法则确定。值域中的每一个元素在定义域中必有元素与之对应。

2、函数的最大（小）值函数值域中的最大者为最大值，最小者为最小值。有的函数有最大值和最小值，有的函数有最大值无最小值，有的函数有最小值无最大值，有的函数无最大值也无最小值。

3、深化

（1）函数的值域和函数的最值，从概念上看不同，而实质是一样。

（2）分析一个函数的值域，应首先考虑函数的定义域，函数的值域是对函数的概念的深化。

（3）函数值域的几何意义是对应函数图像上纵坐标的变化范围，故有时可结合函数图像分析值域。

考点2：求函数值域的常用方法

1、基本方法：

（1）配方法：若函数类型为一元二次函数，则采用此法求值域，其关键在于正确配成完全平方式。

（2）换元法：常用代数或三角代换，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如yaxbcxd(a,b,c,d均为常数且a0)的函数常用此法求解。

（3）判别式法：若函数为分式结构，且分母中含有未知数x，则常用此法。通常去掉分母转化为一元二次方程，再由判别式0，去求得y的范围，即原函数的值域。

（4）不等式法：借助于重要不等式ab2ab(a,bR)求函数的值域。用不等式求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正二定三等”。

（5）反函数法：若原函数的值域直接不好求解，可以考虑求反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y2cxd(a0)型函axb数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法求解。

（6）单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调性求函数值域，常用到函数yxp(p0)的单调性：增区间为,p和p,，减区间为xp,0和0,p。



（7）数形结合法：分析函数解析式表示的几何意义，根据其图像特点确定函数的值域。

（8）极值法：对于一元高次函数，可先求导，再确定其极值，最后得到值域。

2、注意

（1）在应用配方法求函数值域时，关键在于完全平方式能否取到零；用换元法求值域时，需认真分析换元后变量的范围变化；用判别式法求函数值域时，一定要注意变量x是否属于R。

（2）用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立；用单调性法求值域时，准确地找出其单调区间是关键；分段函数的值域应分段分析，再取并集。

（3）不论用哪种方法求函数的值域，一定要先认真确定其定义域，这是求值域的重要环节。

例题讲解：

例1、求下列函数的值域：

x2x10x10xx（1）y2；（2）yx12x；（3）y；（4）yx

x21010xx1x2x2解：（1）法一：配方法

112332,又xx1(x)

2244xx114102,y1

3xx13y1法二：判别式法

x2x由y2，得(y1)x2(1y)xy0

xx1y1时,x

y1.又xR

(1y)24y(y1)0

1y1

31函数的值域为,1

3（2）法一：换元法

1t2令12xt，则t0,且x

211y(t1)21(t0)

221y,

2

法二：单调性法

定义域x11111，函数yx与y12x均在,上递增，故y12

22222（3）换元法

x22x2(x1)21，故可设x1tan,,

22y2cos()

423,1

于是,,知cos()44442y1,2

（4）反函数法

10x10x102x1y12xyx,10(y1)

x2xy110101011x1反函数为ylg

2x1x10知反函数的定义域为,11,，

由x1故原函数的值域为,11,

例2、已知x,y为正实数，且x2x4y0，求xy的最大值。

解：设uxy，将x2x4y0代入，可得

222222x22x1ux(x42x3)

442又x2x4y0,0x2

2211u/(4x36x2)x2(2x3)

423/令u0,0x2,x0

2由于只有一个极值点，其必定是最大值点。

umax1343()2422327

64当x333时，xy的最大值为。

28

例3、已知m1,n1,a为大于1的常数，且log2amlog2anlogaam2logaan2，求loga(mn)的最大值与最小值。

解：由a1及m1,n1知logam0,logan0

令xlogam,ylogan,则x0,y0，且原题中等式可化为(x1)2(y1)24。

另一方面，loga(mn)xy，令xyk

则问题转化为：圆弧(x1)2(y1)24（x0,y0)与直线xyk有公共点，求k的最大值与最小值。

作图可知，k的最小值为13，最大值为222。

综上所述，loga(mn)的最小值与最大值分别为13　与222。

例4、已知函数f(x)12axa2x(a1)。

（1）求函数f(x)的值域；

（2）若x2,1时，函数f(x)的最小值为7，求a并求函数f(x)的最大值。

解：（1）f(x)2(1a),a0，

x2xf(x)211，函数f(x)的值域为,1。

(2)a1,当x2,1时，a2axa

2(a1)2f(x)2(a21)2，

2(a1)27，得a2

此时，f(x)的最大值为2(2221)27

16例5、设f(x)x2ax(0x1)的最大值为M(a)，最小值为m(a)，试求M(a)及m(a)的表达式。

解：f(x)x2ax(xa)a,x0,1，顶点横坐标为xa

222（1）当a0时，M(a)f(1)12a,m(a)f(0)0；

（2）当0a12时，M(a)f(1)12a,m(a)a

2

（3）当1a1时，M(a)f(0)0,m(a)a2，

2（4）当a1时，M(a)f(0)0,m(a)f(1)12a

综上所述，

10,(a0)12a,(a)22M(a)，m(a)a,(0a1)

0,(a1)12a,(a1)2知识运用：

1、下列结论正确的是（

）

lgxA、当x0且x1时，C、当x2时，x112；B、当x0时x2；

lgxx11的最小值为2；D、当0x2时，x无最大值

xx22、函数f(x)24xx(0x4)的值域为（

）

A、2,2；B、1,2；C、0,2；D、2,2

5x24x53、已知x,则f(x)有（

）

22x4A、最大值55；B、最小值；C、最大值1；D、最小值1 4424、求函数yx1x的值域。

5、求函数yx11(x0)的值域。

x6、求下列函数的值域：

12x2x2(x3)

（1）y2；（2）yxx3xx17、求下列函数的值域：

sinx2x2x11(x3)；（1）y（2）y

2cosx2x12x22xa,x1,。

8、已知函数f(x)x（1）若a1，求f(x)的最小值；

2

（2）若a0，求f(x)的最小值。

9、已知f(x)2log3x,x1,9，求函数yf(x)f(x2)的值域。

210、已知函数ymx26mxm8的定义域为R，（1）求实数m的取值范围；

（2）当m变化时，若y的最小值为f(m)，求f(m)的值域。