2.1.1 函数的概念和图象教案和学案内容

函数概念精讲

一、考点突破

1. 理解函数的概念，了解函数构成的要素；

2. 会求一些简单函数的定义域，函数值，知道两函数相等的条件。

二、重难点提示

重点：函数的三要素：定义域、值域和对应关系；

难点：一些简单函数的定义域的求法。

三、教学过程

1. 函数的定义

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应法则f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记做y＝f（x），x∈A。

2. 函数的定义域、值域

在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。两个函数的定义域和对应法则完全一致时，则认为两个函数相等。

3. 常见函数定义域的求法

（1）分式函数中分母不等于零。

（2）偶次根式函数被开方式大于或等于0。

（3）一次函数、二次函数的定义域为R。

【重要提示】在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点。

4. 函数解析式的求法

求函数解析式的常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法。

【典型例题】

例题1

有以下判断：

1,x0|x|①f（x）＝与g（x）＝表示同一函数；

x1,x0②函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点最多有1个；

③f（x）＝x2－2x＋1与g（t）＝t2－2t＋1是同一函数；

④若f（x）＝|x－1|－|x|，则f(f())＝0；

其中正确判断的序号是________。

|x|思路分析：对于（1），由于函数f（x）＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g（x）x＝121,x0的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于（2），若x＝1不是y＝f（x）1,x0定义域的值，则直线x＝1与y＝f（x）的图象没有交点，如果x＝1是y＝f（x）定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f（x）的图象只有一个交点，即y＝f（x）的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于（3），f（x）与g（t）的定义域、值域和对应关系均相同，第1页

1111－1－f(f())所以f（x）和g（t）表示同一函数；对于（4），由于f()＝＝0，所以2222＝f（0）＝1。

综上可知，正确的判断是（2）（3）。

答案：（2）（3）

例题2 给出下列两个条件：

（1）f（x＋1）＝x＋2x；

（2）f（x）为二次函数，且f（0）＝3，f（x＋2）－f（x）＝4x＋2，请试着分别求出f（x）的解析式。

思路分析：（1）将x

+1 当作一个整体，利用换元法设其为t，求出f(t)关于t的函数关系式，就是f(x)的解析式。

（2）设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，先求出c，再代入到f(x+2)-f(x)=4x+2中，根据一次项系数与常数项分别相等，列出关于a,b的方程即可分别求出a,b. 答案：解：（1）令t＝x＋1，∴t≥1，x＝（t－1）2，

则f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1，

∴f（x）＝x2－1（x≥1）；

（2）设f（x）＝ax2＋bx＋c

（a≠0），又f（0）＝c＝3，

∴f（x）＝ax2＋bx＋3，

∴f（x＋2）－f（x）＝a（x＋2）2＋b（x＋2）＋3－（ax2＋bx＋3）＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2，

4a＝4a＝1∴，∴，

4a＋2b＝2b＝－1

∴f（x）＝x2－x＋3。

【方法提炼】

1. 函数三要素

函数的三要素：定义域、值域、对应关系。这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同时，函数才是同一函数。

特别值得说明的是，对应关系是就结果而言的（判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同），而不是指形式上的，即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断。

2. 函数定义域的求解方法

求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含的运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集。

复合函数求定义域的方法

（1）若f(x)的定义域为xa,b，求出f[g(x)]中ag(x)b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域；

（2）若f[gx]的定义域为xa,b，则由axb确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。

（3）若f[g(x)]的定义域为xa,b，求f[h(x)]的定义域，可先由f[gx]定义域求得fx的定义域，再由f(x)的定义域求f(h(x))的定义域。

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【满分训练】

求下列函数的定义域：

（1）已知函数fxx10xx，求函数f（x）的定义域；

（2）已知函数f(x)的定义域为15，，求f(3x5)的定义域；

（3）已知函数f(x22x2)的定义域为0，3，求函数f(x)的定义域；

（4）函数yfx1定义域是2,3，求yf2x1的定义域。

思路分析：（1）要使该函数有意义，应满足∴函数的定义域为,11,0；

x1x10，即，

x0xx0410f(x)的定义域为15，，1≤3x5≤5，3≤x≤3，

410故函数f(3x5)的定义域为，；

332（3）由0≤x≤3，得1≤x2x2≤5；

2令ux2x2，则f(x22x2)f(u)，1≤u≤5，

（2）故f(x)的定义域为15，；

（4）先求fx的定义域

fx1的定义域是2,3，2x3，1x+14，

0x，即fx的定义域是1,4，再求f

hx的定义域为12x14，2∴f2x1的定义域是0,。

2总结：已知f（x）的定义域是[a，b]，求f[g（x）]的定义域，是指求满足a≤g（x）≤b的x的取值范围，而已知f[g（x）]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]。

3. 函数解析式的求法

（1）配凑法：由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），便得到f（x）的解析式；

（2）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法；

（3）换元法：已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

（4）消去法：已知关于f（x）与f()或f（-x）的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f（x）。

551x第3页