设计自己的运算程序教学实录

综合与实践：设计自己的运算程序

教学目标

1.经历实验观察、观察、猜想、验证等数学活动过程，发展归纳能力、抽象与概括能力。

2.在制定运算程序及对程序的验证过程中，综合运用所学的运算知识，形成对数学运算整体性的认识，领会研究问题的策略和方法。

3.经历小组合作与交流的活动，进一步积累合作与交流的活动经验，增强合作意识，发展合作能力。

教学重难点：加深理解代数运算的含义，体会代数推理的意义。

活动重点: 经历数字运算、观察结果、符号表示、代数验证和反思等整个思维活动过程.

教学过程设计

本课时由如下环节构成：第一环节：引入悟境；第二环节：引领悟识；第三环节：引导悟技；第四环节：引申悟道。

一 引入悟境

活动内容：数学魔术

写下任何一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位上的数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数， 得到差。再重复这个过程……

设计意图：应先看好书《简爱》中第95页的第4个字，写在纸上，放人信封，然后把书和信封一起放在讲台上。教师背对着学生抛掷一个小玩偶，落到哪位同学那里就请上来作运算，直到第一次出现495的答案就停止。请学生观察后两位数，这就是本书中的页码，第一位数字定是4，从95页第一行数第4个字，就是教师先前预测的字，然后打开信封，见证奇迹的时刻到了，正好就是信封中的字。

活动目的：以学生感兴趣的魔术引人，激发学生探索的兴趣，同时这里让一个学生先做示范，使得下一步全班学生进行运算有章可循。

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二 引领悟识

活动内容：问题1.采取同样的程序，取一些四位数（四位数字相同的除外）来试试，会得到什么结果呢？ 原四位数

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

⑨

问题2.综合以上两个问题，你能提出进一步的猜想吗？

活动目的：本环节提供的是相近背景的具体问题，具有一定的开放性、研究性，第二个问题是对第一个问题的探究方式的熟练、提升过程，对猜想的进一步确认和完善。但主要教学意图应是为学生提供一个思考探究的平台，在活动中体现归纳、猜想，感悟处理问题的方法和策略，积累数学活动的经验。

设计意图：教学过程中应适时引导学生解释出现数位上有数字为“0”时的处理方式。在教学时要为学生提供进行充分思考和交流的时间，鼓励学生在自主探索的基础上及时交流自己的想法和做法，可采用小组合作的方式进行教学。问题是按照“问题情境——猜想——发现规律”的方式展开，使学生体验“数学化”的过程。在教学中注意对学生进行有效地分层推进，对于运算的结果不要急于公布，使学生意识到完备的基础知识和基本技能是我们进一步研究的基石，提升学生主动学习的目的性；对于较早完成探索“四位数”的同学，引导他们自由探索其它位数的规律，自然引导学生过渡到

“两位数”、“五位数”的探索。

比如7283；8732—2378=6354

6543—3456=3087；8730—0378=8352 8532—2358=6174；7641—1467=6174

……

2

三、引导悟技

活动内容：（1）请阅读下列内容：任意写下一个三位数，

①

百位数字乘以个位数字的积作为下一个数的百位数字；

②

百位数字乘以十位数字的积作为下一个数的十位数字；

③

十位数字乘以个位数字的积作为下一个数的个位数字；

在上面每次相乘的过程中，如果积大于9 ，则将积的个位数字与十位数字相加，若仍大于9，则继续相加直到得出一位数，重复这个过程……

例如，以832为例，运用以上规则依次可得到：832，766，669，999，…

问：你选择的三位数是什么？你得到了什么结论？换个数试一试。

活动目的：通过前一环节的学习，学生发现了此类问题的探究方法，通过类比可较快得出本题的规律所在。由于探究过程所需的相关知识并不复杂，所以大部分学生都能亲历观察、比较、猜想、推理、交流、反思的数学活动过程，有利于发展学生数学地思考。而且通过与同伴合作、克服困难，提升学生的自信心，进一步提升学生学习的热情。课程标准指出我们的数学课程应当使“不同的人在数学得到不同的发展”，鼓励学有余力的学生将问题进一步延伸与拓展，获得高层次能力的发展，努力使他们的创新思维及问题意识得以提升。

设计意图：在问题解决过程中仍旧要留给学生足够的探索与交流的时间与空间，使他们充分地、有条理地表达自己的观点，同时也体会到合作的重要性，积累合作方法和经验。注意学习困难学生的努力，通过合理评价促进不同层次的学生得到相应的发展。

活动内容：（2）设计自己的运算程序，以不同的三位数开始重复地运用你的程序（运算结果不超过三位数），你发现了什么? 要求：

①学生小组合作（6人一个小组），制定出自己的运算程序. ②运算程序中尽量多的包含我们已经学过的运算（加、减、乘、除、乘方）. ③制定完运算程序后每人找一个数验证程序的正确性. ④每个小组推选1人展示小组设计的运算程序.

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设计意图：这里的任务是“设计自己的运算程序”，对于有些学生，如果没有教师的引导可能会觉得无所适从，此处借助实例，更便于学生理解教学的意图，学生的思维可以从此展开，进一步探索.

四、引申悟道

对于不同的起始数字，反复运用任何一个固定的“运算程序”，由此产生的结果总是会停留在某个或某几个数字上，或者以某种重复的方式循环，你认为会这样吗?试给出你的理由. 这里的基本依据是“抽屉原理”.由于任务是针对三位数字的，把最后得到的结果的数看成“苹果”，而在0到999之间只有1000个整数，把这1 000个整数看成1000个“抽屉”，所以抽屉原理就保证了这样的操作迟早会产生一个前面出现过的数字.因此，必然出现循环!最多操作1 000次后循环. 科普：黑洞原是天文学中的概念，表示这样一种天体：它的引力场是如此之强，就连光也不能逃脱出来。数学中借用这个词，指的是某种运算，这种运算一般限定从某些整数出发，经过某种规定的运算后，结果必然落入某个“数字黑洞”。

黑洞数又称陷阱数,是一类具有奇特转换特性的整数。

任何一个数字不全相同的整数,经过有限次“重排求差”

操作,总会得某一个或一些数,这些数即为黑洞数。“重排求差”

操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数。

数字黑洞“123”（偶奇总）

数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单。然而，按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的黑洞值：

规则：

①设定一个任意数字串

，例如：1234567890 ②偶：数出这个数中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有

5 个。

③奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有

5 个。

④总：数出该数数字的总个数，本例中为

10 个

⑤

新数：将答案按

“偶-奇-总”

的位序，排出得到新数为：5510。

⑥将新数不断重复步骤⑤

的做法。5510 134 123

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