阅读与思考 集合中元素的个数ppt配套教案和课堂实录

1.1.1《集合的含义与表示》教案

【教学目标】

1.了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；

2. 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；

3. 掌握常用数集及其记法；

4.了解集合的表示方法；

5.能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.

【导入新课】

一、实例引入：

军训前学校通知：8月20日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体. 二、问题情境引入：我们高一（一）班一共52人，其中班长张三，现有以下问题：

⑴ 52人组成的班集体能否组成一个整体？

⑵

张三和52人所组成的班集体是什么关系? ⑶

假设李四是相邻班的学生，问他与高一·一班是什么关系？

新授课阶段

（一）集合的有关概念

1.

集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们

能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体. 2.

一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集.[

3.

思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）

大于3小于11的偶数；

（2）

我国的小河流；

（3）

非负奇数；

（4）

方程x10的解；

（5）

某校2012级新生；

（6）

血压很高的人；

（7）

著名的数学家；

（8）

平面直角坐标系内所有第三象限的点；

（9）

全班成绩好的学生. 对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题. 4.

关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素. （3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关. （4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样. (二)

元素与集合的关系

1.

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A；

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：aA，

例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，，

4A，等等. 2．集合与元素的字母表示：

集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示. 3．常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R. 例1

若集合A为所以大于1 二小于3的实数组成的集合，则下面说法正确的为（

）

A．0A

Ｂ.1A

C.0.2A

D.1A

2

解析：根据元素与集合的关系可得，答案C. 答案：

C

例2用“∈”或“”符号填空：

（1）8

N；

（2）0

N；

（3）-3

Z；

（4）2

Q；

（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国

A，美国

A，印度

A，英国

A. 答案：;;;;,,

例3 判断下列各句的说法是否正确：

(1) 所有在N中的元素都在N*中

(

) (2) 所有在N中的元素都在Z中

(

) (3) 所有不在N*中的数都不在Z中

(

) (4) 所有不在Q中的实数都在R中

(

) (5) 由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0

(

) (6) 不在N中的数不能使方程4x＝8成立

(

) 答案：

×，√，×，√，×，√

例

4 已知集合P的元素为1,m,m23m3,

若3P且-1P，求实数m的值

解：根据3P，得若m3,则m3m33

此时不满足题意；若m3m33,解得

此时m0或m3（舍），综上

符合条件的m0

. 点评：本题综合运用集合的定义和元素与集合的关系解题，注意集合的性质的运用. （三）集合的表示方法

我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合

(1)

列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“的方法叫列举法. 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…

说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.

2．各个元素之间要用逗号隔开；

2”括起来表示集合

3．元素不能重复；

4．集合中的元素可以数，点，代数式等；

5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为1,2,3,4,5,....... 例5

用列举法表示下列集合：

(1)x2－4的一次因式组成的集合.

(2){y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}. (3)方程x2＋6x＋9＝0的解集.

(4){20以内的质数}. (5){（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}.

(6){大于0小于3的整数} (7){x∈R｜x2＋5x－14＝0}.

(8){（x，y）}｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0}. (9){（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}. 分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内. 解：(1)因x2－4＝（x－2）（x＋2），故符合题意的集合为{x－2，x＋2}. (2)y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，即y≤4，又y∈N，∴y＝0，1，2，3，4. 故{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}＝{0，1，2，3，4}. (3)由x2＋6x＋9＝0得

x1＝x2＝－3，∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}. (4){20以内的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}. (5)因x∈Z , y∈Z ，则x＝－1，0，1时，y＝0，1，－1. 那么{(x，y)｜x2＋y2＝1，x∈Z ,y∈Z}＝{（－1，0），（0，1），（0，－1），（1，0）}. (6){大于0小于3的整数}＝{1，2}. (7)因x2＋5x－14＝0的解为x1＝－7，x2＝2，则{x∈R｜x2＋5x－14＝0}＝{－7，2}. (8)当x∈N且1≤x＜4时，x＝1，2，3，此时y＝2x，即y＝2，4，6. 那么{（x，y）｜x∈N且1≤x＜4，y－2x＝0}＝{（1，2），（2，4），（3，6）}. (9){（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}＝{（0，6）（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}.

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{

}内. 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范

围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：xAp(x)

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，…；

说明：

1．课本P5最后一段话；

2．描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与

{y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{x︳整数}，即代表整数集Z. 辨析：这里的{

}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的. 说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法. 例6

用描述法表示下列集合：

(1)方程2x＋y＝5的解集.

(2)小于10的所有非负整数的集合. (3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解.

(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合. (5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合. x + y＝1(6)方程组

的解的集合.

(7){1，3，5，7，…}.

x－y＝1(8)x轴上所有点的集合.

(9)非负偶数. (10)能被3整除的整数. 分析：用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素，公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质. 解：(1){（x，y）｜2x＋y＝5}. (2)小于10的所有非负整数的集合用描述法表示为{x｜0≤x＜10，x∈Z}. (3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解用描述法表示为{（x，y）｜ax＋by＝0（ab≠0）}. (4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合用描述法表示为{x｜x＞3}. (5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合用描述法表示为{（x，y）｜xy＜0}. x + y＝1x + y＝1(6)方程组

的解的集合用描述法表示为{（x，y）｜

}. x－y＝1x－y＝1(7){1，3，5，7，…}用描述法表示为{x｜x＝2k－1，k∈N*}. (8)x轴上所有点的集合用描述法表示为{（x，y）｜x∈R，y＝0}.

(9)非负偶数用描述法表示为{x｜x＝2k，k∈N}. (10)能被3整除的整数用描述法表示为{x｜x＝3k，k∈Z}.

（3）文恩图法：集合的表示除了列举法和描述法外，还有恩韦图(文氏图)叙述如下：

画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.如图：

表示任意一个集合A

表示{3，9，27}

表示{4，6，10}

边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素. ．．．．．．．．．．．．．．．．．例7设集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A、B和C的关系. 解：因A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，则集合A由偶数构成，集合B由奇数构成. 即a是偶数，b是奇数

设a＝2m，b＝2n＋1（m∈Z ,n∈Z）

则a＋b＝2（m＋n）＋1是奇数，那么a＋b∈\A，a＋b∈B. 又C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}是由部分奇数构成且x＝4k＋1＝2·2k＋1. 故m＋n是偶数时，a＋b∈C；m＋n不是偶数时，a＋b∈\C 综上a＋b∈\A，a＋b∈B，a＋b∈\C. 课堂小结

1.集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、式、点、形、物等. 2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要能熟练运用之. 3. 集合的常用表示方法，包括列举法、描述法. 作业

1．习题1.1，第1- 2题；

2．预习集合的表示方法.

拓展提升

1.用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：

(1)所有绝对值等于8的数的集合A；

(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.

2.下列各组对象不能形成集合的是（

）

．．．．A.大于6的所有整数

B.高中数学的所有难题

1C.被3除余2的所有整数

D.函数y＝

图象上所有的点

x3.下列条件能形成集合的是（

）

A.充分小的负数全体

B.爱好飞机的一些人

C.某班本学期视力较差的同学

D.某校某班某一天所有课程

4.集合A的元素由kx2－3x＋2＝0的解构成，其中k∈R，若A中的元素至多有一个，求k值的范围.

5.若x∈R，则{3，x，x2－2x}中的元素x应满足什么条件?

116.方程

ax2＋5x＋c＝0的解集是{

，

}，则a＝_______，c＝_______.

23

7.集合A的元素是由x＝a＋b2 （a∈Z,b∈Z）组成，判断下列元素x与集合A之间的关系：0，

11

，

. 2－13－2

参考答案

1. 分析：由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在. 解：(1)A＝{绝对值等于8的数}

其元素为：－8，8 (2)B＝{绝对值小于8的整数} 其元素为：－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7. 2. 解：综观四个选择支，A、C、D的对象是确定的，惟有B中的对象不确定，故不能形成集合的是B. 3 解：综观该题的四个选择支，A、B、C的对象不确定，惟有D某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是D. 4. 解：由题A中元素即方程kx2－3x＋2＝0(k∈R)的根

2若k＝0，则x＝

，知A中有一个元素，符合题设[

3若k≠0，则方程为一元二次方程. 9当Δ＝9－8k＝0即k＝

时，kx2－3x＋2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素.89又当9－8k＜0即k＞

时,kx2－3x＋2＝0无解. 8此时A中无任何元素，即A＝也符合条件

9综上所述

k＝0或k≥

8评述：解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况. 5. 解：集合元素的特征说明{3，x，x2－2x}中元素应满足关系式

3x≠32x≠x≠32x≠x－2x

即x≠3x

也就是x≠0

223≠x－2xx－2x－3≠0x≠－1即x≠－1，0，3满足条件. 11116. 解：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是{

，

}，那么

、

是方程两根

2323115

＋

＝－

a＝－623a即有11得

那么

a＝－6，c＝－1 cc＝－1

·

＝

23a

7.解：因x＝a＋b2 ，a∈Z ,b∈Z

则当a＝b＝0时，x＝0 又1

＝2 ＋1＝1＋2

2－1当a＝b＝1时，x＝1＋2

又1

＝3 ＋2

3－2当a＝3 ，b＝1时，a＋b2 ＝3 ＋2

而此时3 ∈\Z，故有：故0∈A，1

∈\A，

3－211

∈A，

∈\A. 2－13－2158.解：若x是整数，则有x＋x＝15，x＝

与x是整数相矛盾，若x不是整数，则x必2在两个连续整数之间

设n＜x＜n＋1 则有n＋（n＋1）＝15，2n＝14，n＝7

即7＜x＜8

∴x∈（7，8）