信息技术应用 用计算机绘制函数图象教学内容分析

含有参数的函数最值问题教学设计

广东仲元中学

许鲔潮

《含有参数的函数最值问题》是在复习了必修1-5大部分知识点后的一节综合题讲解课．根据新课标的理念和高二学生的认知特点，结合仲元中学实行的五环教学法，设计本节课的教学．下面我从四个方面阐述我对这节课的理解和教学设计．

一．教材分析

1．

地位及作用

从近五年的广州市水平考试数学卷来看，最后一道题压轴题都是含有参数的函数题，熟悉含有参数的函数问题是非常有必要的，虽然学生己经复习完必修一到五的知识点，但是知识结构还处于比较零散，缺少整体联系的状态．所以这节课的作用主要是在学过的二次函数知识的基础上，运用“一题多解”的思路，帮助学生在通性通法中对己有解法的提炼、延伸，提高学生解题的灵活性，注重激发兴趣和求知欲．同时通过“一题多解，一题多变”构建新知识的最近发展区，寻找知识的生长点，引起学生认知冲突，激发探究的热情，不断从一类问题引申到另一类问题，给学生的思维发展提供阶梯，也让学生在探究中感悟知识，建构网络，提高学生的学习效率．小组学习方式还有助于培养学生主动交流的合作意识．

2．

教学目标

根据新课标的要求和教材的分析，结合学生己有的知识基础，目标制订如下：

1)．领会含参数的函数最值问题特征，学生对于这种参数的问题存在恐惧心理，而这种恐惧来自于对这类问题的不理解，本节课希望通过典型例题方法的整理应用，让学生认清本质，领会含参数的函数最值问题特征，让学生经历观察，类比的过程，提升数形结合解决问题的能力．

2)．通过具体例子探究含参数的函数最值问题的求解解题策略：

①重视通性通法教学，如例题解法一，解法二暴露学生在分类讨论中的常见错误，给出可操作的解题策略．

②渗透转化的数学思想如例题教学中的解法三是在感觉到分类讨论而换个角度看问题，用了参变分离法，避开分类讨论，在解法三中优化解法又产生了解法四．而解法五虽然比较少见，但对于水平考试的复习也有促进，特别是促进学生理解，编织知识点之间联系，进而提升分析解决综合题的能力；

③及时反馈给学生运用方法的机会，在例题的五种解法中，在基础中突破，“一题多解”有利于学生扩大视野，深化知识，举一反三，触类旁通，根据学业水平考试的难度特点，以及学习实际，调整教学策略，课堂教学主要依据“注重基础，点面结合”的原则，采取“以考点训练带动知识建构”的教学方式从而提高学生解题的能力，通过小组讨论的形式让学生复习，经历作图，观察，比较，归纳，应用，以及猜想，验证的学习过程，使学生掌握类比，转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯．

3)．应用分类讨论、化归、数形结合、分离变量等数学思想与方法，这些意识在整节课堂中穿插，让学生体验数学中转化思维的巧妙及数学美，培养主动交流的合作意识及善于探索的思维能力．陶冶学生的情操，培养学生的数学兴趣．

3．教学重点、难点

重点：掌握含有参数的函数最值问题分析及解决能力．

难点：分类讨论、化归、数形结合、分离变量等数学思想与方法进行解题的意识．

4．学情分析

学生己经复习完必修一到五的知识点，知识结构相对而言还处于比较零散，缺少整体联系但又具有一定的知识迁移能力．

5．内容处理

按五环教学法教学，设计五环教学过程：

一）．回忆旧知，通过理解或作图的方法，回顾函数，方程，不等式的联系以及零点这个过渡概念等内容．

二）．自主学习，由2010年一道水平考试压轴题为蓝本改编出一道题，由于这道水平考试的题己经讲过，引导学生从各方面发现两道题的区别与联系，引导学生通过“一题多解”从通式通法中发现知识与知识之间的联系，进一步发现新的解法．

三）．合作探究．通过前面两个环节解决了自主学习的题目，但这些解法学习掌握起来有较大难度，通过类比设计了针对这些通式通法的例题．

四）．小组展示评议．

五）．反思拓展．

目的：设计递进的导学案，调整学生的思维状态，作好知识准备，提高课堂效率；保持学习的连续性，便于问题的探究和重难点的突破；让学生体验学习的乐趣．

二、教法学法分析

1、教法

根据学业水平考试的难度特点，以及学习实际，调整教学策略，课堂教学主要依据“注重基础，点面结合”的原则，采取“以考点训练带动知识建构”的教学方式，基于本节课内容的特点和高二学生的年龄特征，我以“探究式”“体验教学法”和“启发式”教学法为主进行教学．让学生在开放的情境中，在导学案的引导启发下，同学的合作帮助下，通过探究发现，让学生经历了数学知识的形成和应用过程，加深了对数学知识的理解．教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高、思维训练．同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层施教．

2、学法

根据学生的思维特点、认知水平，遵循“教必须以学为立足点”的教学理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建．在各个环节中引导学生类比迁移，对照学习．以自主探索为主，学会合作交流，在师生互动、生生互动中让每个学生动口、动手、动脑，培养学生学习的主动性和积极性，使学生由“学会”变“会学”和“乐学”，这也是仲元中学五环教学法追求的一个目标．

3、教学手段

采用多媒体教学，主要利要几何画板展示及研究．

三、教学过程

（前五个环节在下课前完成，后两个环节课后完成）

一．回忆旧知(本节课学习你可能要用到下面的知识)

（1）函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程

f

(

x

)



0

的________，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的______．即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

（2）二次函数，一元二次方程与一元二次不等式三者的联系．根据题意完成下面表格填空．

判别式

二次函数

0

0

0

yax2bxcyax2bxcyax2bxcyax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

ax2bxc0a0的根(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)

bx1x2

2axb

2a无实根

ax2bxc0

xx2或xx1

R

x1xx2





（3）你能想到的数学基本思想方法有那些？

如：分类讨论，数形结合，分离变量，函数思想等等

二．自主学习（自学复习下面内容，并完成下列问题）

我们将《评》P7 ，练习15，即2010年第20题改编的得到如下题目，自主加以研究，找出尽量多的解法：

例：己知函数fxxax3a,aR．

21若fx0在xR上恒成立，求a的取值范围; 2若fx0在x1,2上恒成立，求a的取值范围; 过程：对于第（1）小题，学生利用一元二次不等式的解法可直接作答．简要说明就行．

主要分析第二问：fx0在x1,2上恒成立等价于fxmin0，利用对称轴与区间1,2的位置关系来分类讨论，关键是找到临界点，分别有那些临界点？

aa2解法一（常规解法，函数思想）：fxx3a

24①当2a1，即a2时，fx在1,2上递增，fxminf140，故a2．

2

②当1a2，即4a2时，fx的对称轴在1,2上，2fxma2af3a0，解得：6a2故4a2．

in42a2，即a4时，fx在1,2上递减，fxminf27a0，故2③当7a4．

综上所述，a7

解法二（常规解法，方程思想）：fx0在x1,2上恒成立即fx0有且只有以下4种情况：

①无实根或只有一根：

0，即6a2．

0a②在,1上有2个根；1，解得：a2．

2f100a③在2,上有2个根；2，解得：7a6．

2f20综上所述：a7

2解法三（分离变量法）fx0在x1,2上恒成立，故ax1x3在1,2上恒成立．

①当x1时，04恒成立，aR．

x23x23②当x1,2时，不等式可化为a在x1,2上恒成立，令gx

x1x1根据单调性定义，设1x1x22，则

x123x223x223x123x2x1x1x2x1x23gx1gx2x11x21x21x11x11x21考虑x1x2x1x2341130，故gx1gx20，即gx在1,2上递增，gxmaxg27，从而a7．

综上所述，a7

2解法四（数形结合法）ax1x3在1,2上恒成立，在同一坐标系中作出图2像y1ax1，y2x3，由题意知，函数y1ax1,1x2的图像恒在2函数y2x3,1x2的图像上方．

①当a0时，观察图像可得．

2②当a0时，若y1ax1的图像与函数y2x3的图像相切，则ax1x23，且0，解得a6或a2（舍去）

而当a6时，切点为3,12不在我们考虑的定义域1,2内，利用图像，要使得函2数y1ax1,1x2的图像恒在y2x3,1x2的图像上方，只要x2时，y1y2即可，故a7．

综上所述，a7．

解法五（集合观点）若fx0的解集是A，则1,2A

①当0时，即6a2时，不等式恒成立．

2②当0时，即a6或a2时xax3a0的解集是

a,2a2,．

要使得fx0在x1,2上恒成立，只要

a1,2,2a2a,，即22或a21

故7a6或a2或a6．综上所述，a7．

三．合作探究

新课标下的数学越来越注重对学生的综合素质的考察，函数特别是含有参数的函数最值问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到函数性质、图象，渗透着分类讨论、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近五年的数学水平考试中的最后一题都是含有参数的函数问题（具体可见课后习题1-5），大多是已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现．其形式逐渐多样化，但都和上述的知识与思想密不可分．

由前面自主学习我们可以归纳出下面几种常用的处理方法：

一)分类讨论

在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决．

反馈练习1、若x2,2时，不等式xax3a恒成立，求a的取值范围．

2解：设fxx2ax3a，则问题转化为当x2,2时，fx的最小值非负．

（1）

当a72即：a4时，fxminf273a0

a又a4所以a23不存在；

a（2）

当22即：4a4时，fxminf26a2

又4a4

4a2

a（3）

当2

即：a4时，fxmin2a47a4

综上所得：7a2

二)分离参数

a2a3a0

42f2

a7又7a0（1）在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若afx恒成立，只须求出fxmax，则afxmax；若afx恒成立，只须求出fxmin，则afxmin，转化为函数求最值．

反馈练习2、已知函数fxx取值范围．

解：根据题意得：x2a2，若对任意x2,恒有fx1，试确定a的xa21在x2,上恒成立，

x即：ax3x在x2,上恒成立，

39设fxx3x，则fxx

2422当x2时，fxmax2

所以a2

（2）

在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若fagx恒成立，只须求出gxmax，则fagxmax，然后解不等式求出参数a的取值范围；若fagx恒成立，只须求出gxmin，则fagxmin，然后解不等式求出参数a的取值范围，问题还是转化为函数求最值．

反馈练习3、已知x0,2时，不等式x解：原不等式可化为：aa22aax10恒成立，求a的取值范围．

2x1，

2xx1在x0,2上的最小值即可．

x2要使上式在x0,2上恒成立，只须求出fxx111111fx2

xxxx24fxminf22211,

x233132

aa

a

4422三)数形结合

数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式．

反馈练习4、若不等式3x2logax0在x0,内恒成立，实数a的取值范围为______．

13解：由题意知：3x2logax在x0,内恒成立，

在同一坐标系内，分别作出函数13y3x2和ylogax

观察两函数图象，当x0,时，若13a1函数ylogax的图象显然在函数y3x图象的下方，所以不成立；

当0a1时，由图可知，ylogax的图象必须过点,或在这个点的上方，则，211331111

a

1a

3327271综上得：1a

27loga四）利用集合与集合间的关系

在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：m,nfa,ga，则fam且gan，不等式的解即为实数a的取值范围．

反馈练习5、当x,3时，logax1恒成立，则实数a的取值范围为_________．

13

解：1logax1

a3111（1）

当a1时，xa，则问题转化为,3,a

11

a3

a3aa31a111130a

（2）

当0a1时，ax，则问题转化为,3a,a33a13a综上所得：0a1或a3

3五）确定主元（选学选做内容）

在给出的含有两个变量的不等式中，我们习惯把变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐．如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程．

反馈练习6若不等式xax3a0对所有满足a3的所有a都成立，求x的取值范围. 解：设函数faxax3aax1x3，对满足a3的a，fa0恒成222立

2f303x1x30

解得：x3或x0

2f303x1x30

上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题．

四．展示评议

五．反思拓展

上面几道练习能否用其它方法完成？

六．

小结

记下你的疑惑，写在下面：

七．课后巩固 1．(10-20)已知函数fxax2x13aaR在区间1,1上有零点，求实数a

的取值范围．

2．(11-20) 已知1a1, 若函数fxax22x在1,3上的最大值为Ma,最小3

值为Na,令gaMaNa．

（1）求ga的表达式;

（2）若关于a的方程gat0有解, 求实数t的取值范围．

3．(12-20) 设a为常数，aR，函数fxx2xa1，xR．

（1）若函数fx是偶函数，求实数a的值；

（2）求函数fx的最小值．

4．(13-20) 已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fxxx.

2

（1）求函数fx的解析式；

（2）求函数fx在区间a,a1上的最大值

5．(14-20) 已知aR，函数fxxxa．

（1）当a2时，求函数yfx的单调递增区间；

（2）求函数gxfx1的零点个数．

四、评价分析

数学是一门培养和发展人类的思维学科．因些在教学设计中，本着“问题——探究——反思——提高”的过程，展开所要学习的数学主题，使学生在了解原有知识的基础上，理解并掌握相应的学习内容．在师生共同合作的原则下，展现获取知识和方法的思维过程，突出了探究，合作互动的学习方式．在知识学习过程中给学生留有充分的思考与交流的时间和空间，让学生经历了观察、猜测、交流、反思等活动，体现了学生对学习过程的经历和体验也是学习的目的．在课件的设计时采用了几何画板这个具有动态直观，数形结合，色彩鲜明，变化无穷等特点的有力工具来辅助教学，不仅给学生良好的视觉感受，而且也极大的激发了学生的学习兴趣，培养了学生的观察、分析、归纳、概括能力，提高了数学课堂教学的效率和效果，促使学生主动参与并“卷入”到“做”数学的活动中，从而更加深刻地认识含有参数的函数问题并类比其它函数．