阅读与思考 集合中元素的个数优秀公开课教案

幂函数

一．教学目标：

1．知识技能

（1）了解幂函数的概念；

（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用。

（3）学会研究函数图象和性质的一般方法。

2．过程与方法

类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，掌握幂函数的图象和性质。

3．情感、态度、价值观

（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；

（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，感受数学美。

二．重点、难点

重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质。

难点：从幂函数的图象中概括其性质。

三．学法与教具

（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质

。

（2）教学用具：多媒体

四．教学过程：

（一）创设情境

（课本引例）经调查，一种商品的价格和需求的关系如下表所示。

价格/元

需求量/t 0.6 139.6 0.65 135.4 -0.380.7 131.6 0.75 128.2 0.8 125.1 0.85 122.2 0.9 119.5

根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间的近似关系式：

y=114.8746x. -0.38这个关系式与函数y= x是相关联的。

2我们还学习过下列函数：⑴yx；⑵yx；⑶y1；⑷yx。

x

问题1：以上函数分别叫做什么函数？

问题2：它们的解析式在结构上有何共同特征？

答：上述函数的解析式都可以写成yx的形式，其中x是自变量，是常数.。

问题3：它们是指数函数吗？它们与指数函数有何联系和区别？

答：指数函数yax和函数yx都是幂的形式。但在指数函数yax中，底数是常数，指数是自变量；在函数yx中，底数是自变量，而指数是常数。

（二）探求新知

1．幂函数的定义

⑴一般地，形如yx（xR）的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数；

⑵yx,yx,yx21314等都是幂函数，在中学里我们只研究为有理数的情形；

⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数.

2．幂函数的性质

⑴引例：说出下列函数的定义域，并指出它的奇偶性和单调性：

①yx

②yx2

③

yx3

④yx

⑤

yx1

⑥yx2

函数

定义域

奇偶性

在第Ⅰ象

限单调性

1212yx

R 奇

递增

yx

R 偶

递增

2yx

R 奇

递增

3yx

yx1

yx2

x|x0

x|x0

x|x0

非奇非偶

递增

奇

递减

偶

递减

0,0

定点

0,0

0,0

0,0

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

思考1：根据以上函数的性质，在同一坐标系内作出它们的图象。

2yx

y

yx3

yx

yx

yx

O

212yx1

x

思考2：根据图象，说出以上函数的值域。

思考3：根据图象，归纳函数①——④的共同特征。

思考4：根据图象，归纳函数⑤——⑥的共同特征。

⑵归纳幂函数的性质：

①

当0时：

ⅰ）图象都过0,0,1,1点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数，且越大，上升速度越快。

ⅲ）当1时，图象下凸；当01时，图象上凸。

②

当0时：

ⅰ）图象都过1,1点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐下降，都是减函数，且越小，下降速度越快。

思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？

思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？

（三）学以致用

例1

写出下列函数的定义域和奇偶性

（1）yx

（2）yx

（3）yx3

（4）yx2

例2

证明幂函数f(x)414x在[0,]上是增函数

证：任取x1,x2[0,),且x1＜x2则

f(x1)f(x2)

=1x

x2

(x1x2)(x1x2)x1x2

=x1x2

x1x2

因x1x2＜0，x1x2＞0 x在[0,]上是增函数.

34

所以f(x1)f(x2)，即f(x)例3

比较下列各组中两个值的大小：

（1）2,16（2）3.14与3

；1634；（3）(0.88)与(0.89)．

34233432385353思考：.比较下列各数的大小：(1)1.1,1.4,1.1；

(2) 0.16,0.5,6.25.

例4

已知函数fxm2mx234m2m1.则当m为何值时，fx是

（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数？

（四）巩固提高

21．已知幂函数fx的图象经过点2,2，则f4的值等于（

）

A. 16

B. 11

C.

D. 2 162abcdy 2．已知幂函数yx、yx、yx、

yx

在第一象限内的图象分别是C1、C2、C3、C4，

1 C1

C2 C3

C4

1 x 则a、b、c、d的大小关系是____________. O

3．下列幂函数中，定义域为（0，＋∞）的是（

）

A. yx

B. yx

C. yx233223

D. yx32

4．若a<0,则下列不等式正确的是（

）

A. 22aa0.2a；

B. 0.2a2a2a；

C. 2a0.2a2a；D. 2a0.2a2a

5．关于幂函数yx，下列结论正确的是（

）

A.图象都通过（0，0），（1，1）两点；B.当0时，幂函数为增函数；

C.当0时，图象是一条直线；

D.幂函数的图象不可能出现在第四象限。

q6．若幂函数yxp（p、qZ且p、q互质）的图象过点（－1，1），则（

A．p为奇数，q为偶数，pq0

B. q为奇数，p为偶数，pq0

C. p为奇数，q为偶数，pq0

D. q为奇数，p为偶数，pq0

（五）归纳小结

⑴我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？

⑵说说作出一个幂函数图象的一般步骤。

⑶你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？

（六）布置作业

1．课本P73练习与习题；

）