小结板书设计及意图

第1讲

函数的图象与性质

成都市第十二中学 数学组 田大礼

1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．

2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题．

3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．

热点一

函数的性质及应用

1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．

2．奇偶性

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

(2)在公共定义域内：

①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；

②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；

③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．

(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．

(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．

3．周期性

定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|. 常见结论：

(1)f(x＋a)＝－f(x)⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0. 1(2)f(x＋a)＝⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0. fxa＋b(3)f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于x＝对称．

2

例1

(1)(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6x，则f(919)＝________. －答案

6 解析

∵f(x＋4)＝f(x－2)，

∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，

∴f(x)是周期为6的周期函数，

∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．

又f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6. (2)(2017届安徽省池州市东至县联考)已知函数f(x)＝2 016x＋log2 016(x2＋1＋x)－2 016x，－则关于x的不等式f(3x＋1)＋f(x)>0的解集为(

) A．(－∞，0)

B．(0，＋∞) 11－∞，－

D.－，＋∞

C.44答案

D 1

解析

f(－x)＝2 016－2 016＋log2 016(－x＋1－x)，其中log2 016(x＋1－x)＝log2 0162x＋1＋x－xx22＝－log2 016(x2＋1＋x)，则f(－x)＝－f(x)，所以函数是奇函数，并且函数是单调递增函数．那么原不等式等价于f(3x＋1)>－f(x)⇔f(3x＋1)>f(－x)，

1即3x＋1>－x⇒x>－，故选D. 4思维升华

(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．

(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)

跟踪演练1

(1)(2017届湖南长沙雅礼中学月考)若偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，a＝f(log23)，b＝f(log45)，cf(2)，则a，b，c满足(

) A．a

B．b

C．c

D．c

答案

B 解析

因为偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，

所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增．

又0log45log49log2322，

所以f(log45)f(log23)f(2)，

323232

即b

－8 解析

由条件可得f(x＋6)＝f(x)，函数的周期为6，

f(2 018)＝f(6×336＋2)＝f(2)＝f(－2)＝－8. 热点二

函数图象及应用

1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．

2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．

1－2cos x的图象大致为(

) 例2

(1)(2017届郑州第一中学质量检测)函数f(x)＝1＋2xx

答案

C 1－2－cos(－x) 解析

∵f(－x)＝1＋2x2x－1＝xcos x＝－f(x)，

2＋1所以f(x)为奇函数，排除选项A，B. π0，时，f(x)<0，图象在x轴下方，故选C. 又当x∈2(2)(2017届菏泽期末)若函数y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则称点对[A，B]为y＝f(x)的“友情点对”，点对[A，B]与[B，A]可看作同一个“友情点对”，若函数f(x)＝2，x<0，恰好有两个“友情点对”，则实数a的值为(

) 32－x＋6x－9x＋a，x≥0－x

A．－2

B．2 C．1

D．0 答案

B 解析

首先注意到(0，a)没有对称点．当x>0时，f(x)＝－x3＋6x2－9x＋a，则－f(－x)＝－x3－6x2－9x－a，即－x3－6x2－9x－a＝2(x<0)有两个实数根，即a＝－x3－6x2－9x－2(x<0)有

两个实数根．画出y＝－x3－6x2－9x－2(x<0)的图象如图所示，由图可知当a＝2时有两个解．

思维升华

(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．

sin 2x跟踪演练2

(1)(2017·全国Ⅰ)函数y＝的部分图象大致为(

) 1－cos x

答案

C 解析

令f(x)＝sin 2x，

1－cos xsin 2sin 2π∵f(1)＝＞0，f(π)＝＝0，

1－cos 11－cos π∴排除选项A，D. 由1－cos x≠0，得x≠2kπ(k∈Z)，

故函数f(x)的定义域关于原点对称．

sin－2xsin 2x又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，

1－cos－x1－cos x∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选C. 2ax3ax－x＋3(2)已知函数f(x)＝＋，g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)．在同一直角坐标系中，32函数f′(x)与g(x)的图象不可能是(

)

答案

B 2ax3ax－x＋3解析

因为f(x)＝＋，

32a所以f′(x)＝ax2－x＋，

2若a＝0，则选项D是正确的，故排除D. a1若a<0，选项B中的二次函数的判别式Δ＝1－4a·＝1－2a2<0，所以a2>，又a<0，所以22a<－2. 21二次函数f′(x)的图象的对称轴为x＝. 2a三次函数g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a，

11x－x－，

所以g′(x)＝3a2x2－4ax＋1＝3a2a3a11令g′(x)>0，得x<或x>，

a3a11令g′(x)<0，得

a3a11所以函数g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a的极大值点为x＝，极小值点为x＝. a3a112由选项B中的图象知<，但a<－，

3a2a211所以>，

3a2a所以选项B的图象错误，故选B. 热点三

基本初等函数的图象和性质

1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．

12．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．

2

例3

(1)(2017·深圳调研)设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c大小关系正确的是(

) A．a>b>c

B．b>a>c

C．b>c>a

D．c>b>a

答案

B 解析

根据指数函数和对数函数的增减性知，因为0log0.30.3＝1，c＝log30.2a>c，故选B. a－2x－1，x≤1，(2)(2017届福建福州外国语学校期中)函数f(x)＝在R上单调递增，则logx，x>1a

实数a的取值范围为(

) A．(1,2)

C．(2,3]

答案

C 解析

∵f(x)在R上单调递增，

a>1，∴a－2>0，a－2×1－1≤loga1，B．(2,3) D．(2，＋∞)

∴2

(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．

(2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．

跟踪演练3

(1)(2017·全国Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(

) A．2x<3y<5z

C．3y<5z<2x

答案

D 解析

令t＝2x＝3y＝5z，

∵x，y，z为正数，∴t>1. lg tlg tlg t则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝. lg 2lg 3lg 52lg t3lg tlg t2lg 3－3lg 2∴2x－3y＝－＝

lg 2lg 3lg 2×lg 3lg tlg 9－lg 8＝>0，

lg 2×lg 3∴2x>3y. 2lg t5lg tlg t2lg 5－5lg 2又∵2x－5z＝－＝

lg 2lg 5lg 2×lg 5B．5z<2x<3y

D．3y<2x<5z

lg tlg 25－lg 32＝<0，

lg 2×lg 5∴2x<5z，

∴3y<2x<5z.故选D. x2－a，x≤1，(2)设函数f(x)＝

(a>0且a≠1)．若f(x)在R上是增函数，则a的取值范围logax，x>1

是________．

答案

[2，＋∞) x2－a，x≤1，解析

函数f(x)＝(a>0，且a≠1)．

logax，x>1

a>1，若f(x)在R上是增函数，则有∴a≥2. 2－a≤0，

真题体验

sin x1．(2017·全国Ⅲ改编)函数y＝1＋x＋2的部分图象大致为________．(填序号) x

答案

④

sin xsin x解析

当x→＋∞时，2→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋2→＋∞，故排除②；

xxπsin x当0＜x＜时，y＝1＋x＋2＞0，故排除①③. 2x故填④. 1log2，b＝f(log24.1)，c＝2．(2017·天津改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f 5f(20.8)，则a，b，c的大小关系为____________．

答案

c

解析

∵f(x)在R上是奇函数，

11log2＝f －log2＝f(log25)．

∴a＝－f 55又f(x)在R上是增函数，

且log25＞log24.1＞log24＝2＞20.8，

∴f(log25)＞f(log24.1)＞f(20.8)，∴a＞b＞c. x，0

6 解析

若0＜a＜1，由f(a)＝f(a＋1)，

得a＝2(a＋1－1)，

11∴a＝，∴f a＝f(4)＝2×(4－1)＝6. 4若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)，

得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解．

1综上，f a＝6. 4．(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________. 答案

12 解析

方法一

令x＞0，则－x＜0. ∴f(－x)＝－2x3＋x2. ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)．

∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．

∴f(2)＝2×23－22＝12. 方法二

f(2)＝－f(－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 押题预测

1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(

)

押题依据

指数、对数函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置．

答案

D 解析

(1)方法一

分a>1,0

当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；

当0

幂函数f(x)＝xa的图象不过(0,1)点，排除A；B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知01，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．

2．(2017届甘肃肃南裕固族自治县一中月考)设函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且∀x∈R，满31x－＝f x＋，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)等于(

) 足f 22A．|x＋4|

B．|2－x| C．2＋|x＋1|

D．3－|x＋1| 押题依据

利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性．

答案

D 31x－＝f x＋，可得f(x＋2)＝f(x)，则当x∈[－2，－1]时，x＋4∈[2,3]，f(x)＝解析

由f 22f(x＋4)＝x＋4＝x＋1＋3；当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，2－x∈[2,3]，f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x＝3－x－1，故选D. x－4，00时，h(x)＝若h(t)>h(2)，则实4－2x，x>4，数t的取值范围为________．

押题依据

分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质．

答案

(－2,0)∪(0,2) 2

x－4，0

因为当x>0时，h(x)＝

4－2x，x>4.易知函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，

因为函数h(x)(x≠0)为偶函数，且h(t)>h(2)，

所以h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2，

t≠0，t≠0，所以即

|t|<2，－2

解得－2