探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系教学设计(第一课时)

高中数学人教A版必修1第二章《探究与发现

互为反函数的两个函数图象之间的关系》

1教学目标

(1)了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关系，由已知函数的图像作出反函数的图像。

（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。

2学情分析

在学生已掌握了对数函数与指数函数的基本性质的基础上，并且知道对数函数与指数函数为反函数，在此基础上研究反函数的图像之间的关系。

3重点难点

互为反函数的函数图像间的关系。

4教学过程

4.1第一学时

4.1.1教学活动

活动1【导入】互为反函数的两个函数图像之间的联系

创设情景，引入新课

1、复习提问反函数的概念。

〇学生活动

学生回答，教师总结（1）用y表示x（2）把y当自变量还是函数

提出问题，探究问题

画出y=3x-2 的图像，并求出反函数。

●引导设问1原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？

〇学生活动

学生很容易回答

原函数y =3x-2中

反函数

中

y:函数x：自变量

x:函数y：自变量

●引导设问2在原函数定义域内任给定一个

都有唯一的一个

与之对应，即

在原函数图像上，那么哪一点在反函数图像上？

〇学因为 =3 -2成立，所以

成立即( , )在反函数图像上。

引导设问3若连结BG，则BG与y=x什么关系？点B与点G什么关系？为什么？点B再换一个位置行吗？

〇学生活动学生根据图形很容易得出y=x垂直平分BG，点B与点G关于y=x对称。学生证法可能有OB=OG,BD=GD等。

▲教师引导教师用几何花板，就上面的问题追随学生的思路演示当

在y =3 x-2图像变化时( , )也随之变化但始终有两点关于y=x对称。

●引导设问4若不求反函数，你能画出y=3x-2 的反函数的图像吗？怎么画？

〇学生活动有了前面的铺垫学生很容易想到只要找出点G的两个位置便可以画出反函数的图像。

●引导设问5上题中原函数与反函数的图像，这两条直线什么关系？

〇学生活动由前面容易得出（关于y=x对称）

●引导设问6若把

当作原函数的图像，那么它的反函数图像是谁？

〇学生活动由图中可以看出

关于y=x相互对称所以他的反函数图像应是

，另外由上节课原函数与反函数互为反函数也可得。

●引导设问7以上是一个特殊的函数，图像为直线，若对一个一般的函数图像你能根据上题的原理画出反函数的图像吗？如图是

的图像，请你猜想出它的反函数图像。

〇学生活动由上题学生不难得出做y=x的对称图像（教师配合动画演示）

●引导设问8通过上面的两个问题我们可以得出原函数图像与反函数图像有什么关系？

学生总结，教师补充

结论（1）一个函数若存在反函数则原函数和反函数的图像关于y=x这条直线对称。（2）一个函数若存在反函数则这两个函数许违反寒暑，若把其中一个图像当作原函数图像则另一个图象便是反函数图像。

习题精炼，深化概念

●引导设问9根据图像判断函数

有没有反函数？为什么？对自变量加上什么条件才能有反函数？

〇学生活动学生从图中可以发现在原函数中可以有两个不等的自变量

与同一个y相对应，当我们用y表示x后，对一个y会有两个x与之对应，所以应加上自变量的范围，使得原函数是从定义域到值域的一一映射。如：加上x>0;x<0;x 等等

●引导设问10什么样的函数具有反函数？

▲教师引导学生总结

如果一个函数图像关于y=x对称后还能成为一个函数的图像，那么这个函数就有反函数，这个图像就是反函数的图像。这与反函数定义相对应。即定义域到值

域的一一映射，这样的函数具有反函数，而单调函数具备这个特点，所以单调函数一定有反函数。

●引导设问11通过上图我们发现保留

图像的单调增(减)的部分，那么它的反函数也为单调增（减）的。在看一下前面的几个例子你能得到什么样的结论？

〇学生活动通过观察学生容易得到“单调函数的反函数与原函数的单调性一致”然后教师进一步追问为什么？（由前面我们知道若一个函数存在反函数则x与y之间是一个对一个的关系，而原函数是增函数即x越大y也越大，当然y越大x也越大。）

●引导设问12由图中原函数的图像作出反函数的图像，并回答原函数的定义域值域与反函数的定义域值域有什么关系？

〇学生活动由上面结论很容易做出通过图形的样式使学生进一步认识到原函数的定义域值域是反函数的值域定义域。

总结反思，纳入系统：

内容总结：

1、

在原函数图像上，那么( , )在反函数图像上。

2、

与( , )关于y=x对称。

3、原函数和反函数的图像关于y=x这条直线对称。

思想总结：

由特殊到一般的思想，数形结合的思想

布置作业，承上启下

说明：教材中对反函数（第二课时：互为反函数的函数图像间的关系）的处理是通过画几个特殊的函数图像得出一般结论的。我认为这样处理虽然可以使学生得出并记住这个结论，但学生对这个结论理解并不深刻。这样处理也不利于培养学生严密的数学思维。而我对这节课的处理是在不增加教材难度的情况下（不严密证明）利用

在原函数图像上，那么( , )在反函数图像上这一性质，从图形上充分研究

与( , )的关系。经讨论研究可得出结论“

与( , )关于y=x对称”。进而通过任意点的对称得出原函数和反函数的图像关于y=x这条直线对称，另外利用任意点来研究图像也是以后数学中经常用到的方法。具体操作大致如下：首先请学生画出y=3x-2 的图像，并求出反函数，然后提出问题1：原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？学生很容易得出原函数与反函数中的自变量，函数值正好对调即：原函数y =3x-2中 y:函数x：自变量，反函数

中x:函数y：自变量。问题2：在原函数定义域内任给定一个

都有唯一的一个

与之对应，即

在原函数图像上，那么哪一

点在反函数图像上？对于这个问题有了上题的铺垫，学生不难得出( , )在反函数图像上。问题3：若连结B ，G( , )，则BG与y=x什么关系？点B与点G什么关系？为什么？点B再换一个位置行吗？对于这个问题的设计重在帮助学生理解

与( , )为什么关于y=x对称，突出本课重点和难点。其它环节具体见教案。