复习参考题教学设计实例

第二章章末复习课

整合·网络构建

1．正确理解指数式与对数式的运算

nn(1)正确理解根式a的意义，极易因对根式a的理解不透而得出错误结果．

mn1m1m(2)注意an＝a和a－＝＝的正确转化．

nmnaman(3)对数式的运算要按照对数运算法则和换底公式根式进行，避免对对数运算法则的错误应用．

2．正确认识基本初等函数

(1)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)和幂函数y＝xα极易混淆，要区分自变量x所处的位置；对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，要明确它们的定义域与值域是互换的．

(2)坚持定义域优先原则，在研究基本初等函数的性质时，要首先考虑定义域，否则极易出错.

3．重视基本初等函数单调性的应用

(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的单调性与底数a有直接关系，在解有关不等式或求最大(小)值时，极易因忽视对底数的讨论而出错．

(2)与指数函数和对数函数有关的复合函数的单调性问题要按照复合函数的单调性规则进行判断，同时要注意在定义域之内进行．

1(3)幂函数y＝xα的单调性与指数α有关，牢记α＝1，2，3，，－1五种函2数的图象和性质．

专题一

指数式、对数式的运算

指数与对数的运算应遵循的原则．

(1)指数的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．另外，若出现分式，则要注意对分子、分母进行因式分解，以达到约分的目的．

(2)对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般遵循真数化简的原则进行．

2[例1]

(1)计算：log2＝______，2log23＋log43＝______．

25(2)化简8a－·61ab－·4313－3＝________．

a2b4211解析：(1)log2＝log22－＝－，

2222log23＋log43＝2log23×2log43＝3×3＝33.

5(2)原式＝8a－615－55113＝(8a－a6)－＝8－＝

a363311(2)－＝.

32311答案：(1)－

33

(2)

22归纳升华

1．对于根式的运算结果，不强求形式的统一，但结果绝不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

2．指、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据幂、对数的运算法则及性质加以解决，在运用法则时要注意法则的逆用．在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化，因此要熟练把握这些运算性质的基本特征：(1)同底；(2)“和积”互化．

1－15[变式训练]

(1)lg＋2lg2－2＝________．

22111－1（a3b）－a－b322(2)化简＝________．

65ab5解析：(1)原式＝lg＋lg 4－2＝－1.

2111155a－b2a－b3a－b63261(2)原式＝＝＝a－1＝.

a1515a6b6a6b61答案：(1)－1

(2)

a专题二

基本初等函数的图象

指数函数、对数函数、幂函数图象的应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”，此类题目往往是选择题，常借助指数函数、对数函数、幂函数的图象特征来解决；二是判断方程的根的个数，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数、幂函数等图象的交点个数．

[例2]

(1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是(

)

(2)方程log2(x＋2)＝－x的实数解有(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

解析：(1)由函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象可知，a＝3，所以，y＝a－x，y＝(－x)3＝－x3及y＝log3(－x)，这三个函数均为减函数，只有y＝x3是增函数．

(2)令y1＝log2(x＋2)，y2＝－x，

分别画出两个函数图象，如图所示．

函数y1＝log2(x＋2)的图象是由函数y1＝log2x的图象向左平移2个单位长度1得到．函数y2＝－x的图象是由幂函数y＝x2的图象关于y轴对称得到．由图象可知，显然y1与y2有一个交点．

答案：(1)B

(2)B

归纳升华

识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性，函数图象的变化趋势；(2)奇偶性，函数图象的对称性；(3)特殊点对应的函数值．

[变式训练]

(1)已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是图中的(

)

(2)如图所示，方程logx(y＋1)－logx2＝1对应的图形是(

)

解析：(1)因为f(x)＝ax与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，于是排除A，D，对于B，C中，两图象均关于y＝x对称，又f(3)·g(3)<0，排除选项B.

(2)由logx(y＋1)－logx2＝1得y＝2x－1(x>0且x≠1，y>－1)，所以图象是直线方程的一部分，结合图形知选项C正确．

答案：(1)C

(2)C

专题三

比较函数值大小

比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．

[例3]

(1)(2016·全国Ⅰ卷)若a＞b＞0，0＜c＜1，则(

) A．logac＜logbc

C．ac＜bc

B．logca＜logcb

D．ca＞cb

1111(2)32与23的大小关系是______________．

解析：(1)对于选项A：logac＝lg clg c，logbc＝，因为0＜c＜1，所以lg clg alg b＜0.而a＞b＞0，所以lg a＞lg b，但不能确定lg a，lg b的正负，所以logac与logbc的大小不能确定．对于选项B：logca＝lg alg b，logcb＝，而lg a＞lg b，两lg clg c1边同乘一个负数不等号方向改变，所以logca＜logcb，所以选项B正确．对lg c于选项C：利用y＝xc(0＜c＜1)在第一象限内是增函数，可得ac＞bc，所以选项C错误．对于选项D：利用y＝cx(0＜c＜1)在R上为减函数，可得ca＜cb，所以选项D错误．故选B.

11x111111(2)因为函数y1＝3为减函数，又>，所以33>32.又因为幂函数y2＝x3231111111111在(0，＋∞)上是增函数，且>，所以23>33.所以23>32.

231111答案：(1)B

(2)23>32

归纳升华

比较函数值的大小的一般步骤：

(1)根据函数值的特征选择适当的函数．

(2)根据所选函数的单调性，确定两个函数值的大小．

(3)当两个函数值不能直接比较时，常选择两个对应函数，再进行比较．

(4)必要时，可先将函数值与特殊数0和1进行比较，最后确定它们的大小关系．

[变式训练]

(1)设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(

) A．b

C．c

－3B．c

D．a

1(2)2，32，log25三个数中最大的数是________．

解析：(1)因为a＝log37∈(1，2)，b＝21.1>2，c＝0.83.1<1，所以c

11(2)2＝<1，32＝3>1，log25>log24＝2>3，

8－3所以log25最大．

答案：(1)B

(2)log25

专题四

基本初等函数的奇偶性与单调性问题

(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象和性质都与a的取值有密切的关系．a变化时，函数的图象和性质也随之改变．

(2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)具有相同的单调性．

[例4]

(1)(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f(x)是(

) A．奇函数，且在(0，1)上是增函数

B．奇函数，且在(0，1)上是减函数

C．偶函数，且在(0，1)上是增函数

D．偶函数，且(0，1)在上是减函数

x－1e，x<1，(2)(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝1则使得f(x)<2成立的xx3，x≥1，的取值范围是________．

解析：(1)由题意得f(x)定义域为(－1，1)，关于原点对称，又f(－x)＝ln (1－x)＝－ln (1＋x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又显然f(x)在(0，1)上单调递增．

(2)由于题中所给是一个分段函数，则当x<1时，由ex－1≤2，可解得：x≤11＋ln 2，则此时：x<1；当x≥1时，由x3≤2，可解得：x≤23＝8，则此时：1≤x≤8.综合上述两种情况可得：x∈(－∞，8]．

答案：(1)A

(2)(－∞，8]

归纳升华

(1)基本初等函数单调性的判断与应用：①对于指数函数和对数函数，注意底数a对函数单调性的影响，对于幂函数y＝xα，注意指数α对函数单调性的影响；②根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集．(2)基本初等函数的奇偶性问题，在利用奇偶性定义进行推导判断时，要注意指数、对数运算法则的正确使用．

[变式训练]

(1)(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(

) A．y＝

x1＋x2

1B．y＝x＋

xD．y＝x＋ex

1C．y＝2＋x

2(2)(2015·山东卷)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，

0]，则a＋b＝________．

解析：(1)令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而选项A、B、C中的函数依次是偶函数、奇函数、偶函数．

(2)当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得－1a＋b＝－1，0无解．当0

2b＝－2，13答案：(1)D

(2) －

2专题五

分类讨论思想

分类讨论思想贯穿于中学数学的始终，是数学中的重要思想方法之一，也是学习中的难点所在．因此解题过程中需要我们辩证地对待分类讨论这一思想方法，做到尽可能地简化或回避分类讨论．

1[例5]

已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，f2＝0.求不等式f(logax)>0(a>0且a≠1)的解集．

解：因为f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，

11又f2＝0，所以f(x)在(－∞，0)上是减函数，f－2＝0.

11故若f(logax)>0，则有logax>或logax<－.

2211①当a>1时，由logax>或logax<－，

22得x>a或0

a11②当0或logax<－，

22

a得0.综上可知，当a>1时，

aa不等式f(logax)>0的解集为0，∪(a，＋∞)；

a当00的解集为

(0，a)∪(归纳升华

分类讨论思想在指数函数和对数函数中的应用

(1)理论依据：底数大于1时，指数函数与对数函数均是增函数；底数大于0小于1时，指数函数与对数函数均是减函数．

(2)方法步骤：

a，＋∞)．

a

1值，求a的值．

8323解：令t＝x－3x＋3＝x－2＋，

423当x∈[1，3]时，t∈4，3.

31①当a>1时，ymin＝a4＝，

81解得a＝，与a>1矛盾．

1611②当0

8231综合①、②知a＝. 2