习题2.2课堂实录及点评

对数与对数函数

1．对数的概念及运算法则

(1)对数的定义

说出logaN的底数和真数各是什么？又有何限制？

提示：底数为a，a＞0且a≠1，真数为N，且N＞0.

(2)对数的常用关系式

①对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)；

logcb换底公式：logab＝(b>0，a、c均大于0且不等于1)．

logca1②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad(d>0，a、b、c均大于0且不等于1)．

logba(3)对数的运算法则

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(M·N)＝logaM＋logaN；

M②loga＝logaM－logaN；

N③logaMn＝nlogaM(n∈R)；

n④logamMn＝logaM(n∈R，m≠0)．

m温馨提示：在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．

2．对数函数的图象与性质

a>1

0

图象

性质

定义域：(0，＋∞)

值域：R

过定点(1，0) 当x>1时，y>0 当x>1时，y<0

当00

在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数

温馨提示：对数函数图象的基本特征：

(1)当a＞1时，对数函数的图象“上升”；

当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．

1，－1，函(2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，a数图象只在第一、四象限．

3．反函数

指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

对数式的化简与求值

计算下列各式．

（lg 3）2－lg 9＋1·（lg 27＋lg 8－lg1 000）(1)；

lg 0.3·lg 1.2(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．

[解]

(1)原式

3lg 3＋3lg 2－3（lg 3）2－2lg 3＋1·22＝

（lg 3－1）·（lg 3＋2lg 2－1）3（1－lg 3）·（lg 3＋2lg 2－1）23＝＝－.

2（lg 3－1）·（lg 3＋2lg 2－1）lg 2lg 2lg 3lg 3(2)原式＝lg 3＋lg 9·lg 4＋lg 8

lg 2lg 2lg 3lg 3＝lg 3＋2lg 3·2lg 2＋3lg 2

3lg 25lg 35＝·＝.

2lg 36lg 24

对数运算的一般思路：

(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．

(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

注意：在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化．

（1－log63）2＋log62·log6181．(1)计算：；

log64＋(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2mn. 解：(1)原式

61－2log63＋（log63）2＋log6·log6（6×3）3＝

log641－2log63＋（log63）2＋（1－log63）（1＋log63）＝

log641－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2＝

log642（1－log63）log66－log63log62＝＝＝＝1.

2log62log62log62(2)∵loga2＝m，loga3＝n，

∴am＝2，an＝3，

＋∴a2mn＝(am)2·an＝22×3＝12. 对数函数的图象及应用

(1)(2014·安徽省“江南十校”联考)函数y＝log2(|x|＋1)的图象大致是(

)

1(2)(2012·高考课标全国卷)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(

) 222A.0，

B.，1

22C．(1，2)

D．(2，2) [解析]

(1)首先判断定义域为R.又f(－x)＝f(x)，所以函数y＝log2(|x|＋1)为偶函数，当x＞0时，y＝log2(x＋1)．故选B.

110＜x≤，即当0＜x≤时，函数y＝4x(2)由题意得，当0＜a＜1时，要使得4x＜logax22的图象在函数y＝logax图象的下方．

1111，2，把点，2代入函数y＝logax，又当x＝时，42＝2，即函数y＝4x的图象过点22222得a＝，若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需＜a＜1(如图所示)．

22当a＞1时，不符合题意，舍去．

2所以实数a的取值范围是，1.

2[答案]

(1)B

(2)B

(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a＞1或0＜a＜1的两种不同情况．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

2．(1)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(

) x

11＝log2c，则(

) (2)设a，b，c均为正数，且2a＝log1a，＝logb，12222bc

A．a＜b＜c

B．c＜b＜a

C．c＜a＜b

D．b＜a＜c

解析：(1)选B.∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，

∵g(x)＝－logbx的定义域是(0，＋∞)，故排除A.

若a＞1，则0＜b＜1，

此时f(x)＝ax是增函数，

g(x)＝－logbx是增函数，

结合图象知选B.

1x(2)选A.如图，在同一坐标系中，作出函数y＝2，y＝2x，y＝log2x和log1x的图象．

2

由图象可知a＜b＜c.

对数函数的性质及应用

已知函数f(x)＝log1(x2－2ax＋3)．

2(1)若f(－1)＝－3，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．

[解]

(1)由f(－1)＝－3，得log1(4＋2a)＝－3.

2所以4＋2a＝8，所以a＝2.

这时f(x)＝log1(x2－4x＋3)，

2由x－4x＋3＞0，得x＞3或x＜1，

故函数定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．

令g(x)＝x2－4x＋3，

则g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．

又y＝log1g(x)在(0，＋∞)上单调递减，

22所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．

(2)令g(x)＝x2－2ax＋3，要使f(x)在(－∞，2)上为增函数，应使g(x)在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.

a≥2a≥2因此，即，a无解．

g（2）＞07－4a＞0所以不存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数．

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．

3．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1. (1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围．

解：(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，

x＋1＞0，则解得－1＜x＜1.

1－x＞0，故所求定义域为{x|－1＜x＜1}．

(2)f(x)为奇函数．证明如下：

由(1)知f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}，

且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)．

故f(x)为奇函数．

(3)由f(x)＞0，则loga(x＋1)－loga(1－x)＞0，

∴loga(x＋1)＞loga(1－x)，又a＞1，

x＋1＞0∴1－x＞0，解得0＜x＜1.

x＋1＞1－x所以使f(x)＞0的x的取值范围是{x|0＜x＜1}．

对数换底公式的应用

(2013·高考陕西卷)设a, b, c均为不等于1的正实数，

则下列等式中恒成立的是(

) A．logab·logcb＝logca

B．logab·logca＝logcb

C．loga(bc)＝logab·logac

D．loga(b＋c)＝logab＋logac

[解析]

由对数的运算公式loga(bc)＝logab＋logac可判断选项C，D错误．选项A，由lg blg blg a对数的换底公式知，logab·logcb＝logca⇒·＝⇒lg2b＝lg2a，此式不恒成立．选lg alg clg clg blg alg b项B，由对数的换底公式知，logab·logca＝·＝＝logcb，故恒成立．

lg alg clg c[答案]

B

本考题源于教材人教A版必修1 P75习题A组T11“(1)利用换底公式求下式的值：log225·log34·log59.(2)利用换底公式证明：logab·logbc·logca＝1”的变式而来．

1.(log29) ·(log34)＝(

) 1A.

4C．2

1B.

2D．4 lg 9lg 42lg 32lg 2解析：选D.(log29)·(log34)＝×＝×＝4. lg 2lg 3lg 2lg 32．(2014·西工大附中月考)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(

) A．b

B．a

C．c

D．b

解析：选D.a＝log23＝log49>log46>1，又b＝log32<1，

∴b