复习参考题教学设计第一课时

探求思路

图作向导

对题设条件不够明显的数学问题求解，注重考查相关的图形，巧用图形作向导是思维入手、领会题意的关键所在．尤其是对一些用函数、三角函数、不等式等形式给方法概述

出的命题，其本身虽不带有图形，但我们可换个角度思考，设法构造相应的辅助图形进行分析，将代数问题转化为几何问题来解．力争做到有图用图，无图想图，补形改图，充分运用其几何特征的直观性来启迪思维，从而较快地获得解题的途径．这就是我们常说的图解法

应用题型

应用一：求解函数问题

选择题、填空题、解答题中均有应用，主要涉及函数最值、不等式、解析几何中范围等问题

[例1]

用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f (x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f (x)的最大值为(

) A．4

C．6

B．5 D．7 [解析]

画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图象如图所示，2，0≤x<2，观察图象可知f (x)＝x＋2，2≤x<4，10－x，x≥4，x

所以f (x)的最大值在x＝4时取得，且为6. [答案]

C

练习1．已知关于x的方程|x|＝ax＋1有一个负根，但没有正根，则实数a的取值范围是__________．

解析：在同一平面直角坐标系中分别作出y＝|x|，y＝ax＋1，y＝x＋1的图象．由图可知，当直线y＝ax＋1的斜率a≥1时，直线y＝ax＋1与y＝|x|的图象有且仅有y轴左侧一个交点，即|x|＝ax＋1有一个负根，但没有正根．

答案：[1，＋∞)

应用二：求解不等式问题

x＋2，x≤0，例题2：

已知f (x)＝则不等式f (x)≥x2的解集为(

) －x＋2，x>0，

A．[－1,1]

C．[－2,1]

B．[－2,2]

D．[－1,2]

x＋2，x≤0，[解析]

分别作出f (x)＝和y＝x2的图象如图所示．

－x＋2，x>0

由图可知，f (x)≥x2的解集为[－1,1]．

[答案]

A

1练习2：

已知a>0，b>0，则不等式a>>－b的解是(

) x11－，

A.ab

11，－

B.ba11－∞，－∪，＋∞

D.ba11－，0∪，＋∞

C.ba解析：选D

法一：直接求解法．

1－b<，故选D. ba1＋b>0，x

bx>0，1＋x⇔1－axx<0

xbx＋1>0，⇔⇔x1－ax<0

1x>a或x<01x>0或x<－，b

⇔1法二：数形结合法．利用y＝的图象，如图所示，故选D. x

应用三：求解平面向量问题

例题3：

设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为(

) A．－2

C．－1

B.2－2 D．1－2 [解析]

由于(a－c)·(b－c)＝－(a＋b)·c＋1，因此等价于求(a＋b)·c的最大值，这个最大值只有当向量a＋b与向量c同向共线时取得．由于a·b＝0，故a⊥b，如图所示，|a＋b|＝2，|c|＝1.当θ＝0时，(a＋b)·c取得最大值且最大值为2.故所求的最小值为1－2.

[答案]

D

:练习3：已知a，b为单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是__________________．

―→―→―→―→解析：令OA＝a，OB＝b，OD＝a＋b，OC＝c，

―→如图所示，则|OD|＝2，

又|c－a－b|＝1，

所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，

―→易知点C与O，D共线时|OC|取到最值，最大值为2＋1，最小值为2－1，

所以|c|的取值范围为[2－1，2＋1]．

答案：[2－1，2＋1]

―→课堂练习：已知△ABC的三个顶点的坐标满足如下条件：向量OB＝(2,0)，

―→―→OC＝(2,2)，CA＝(2cos α，2sin α)，则∠AOB的范围为__________．

―→[解析]

由|CA|＝2cos α2＋2sin α2＝2，可知点A的轨

迹是以C(2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O作圆的切线，切点分别为M，N，如图所示，

―→―→连接CM，CN，则向量OA与OB的夹角θ的范围是[∠MOB，∠NOB]．由图可知∠COBπ―→―→―→1―→ππ＝，因为|OC|＝22，由|CM|＝|

CN|＝|OC|，知∠COM＝∠CON＝，所以∠BOM＝4264π5πππππ5ππ5π－＝，∠BON＝＋＝，所以≤θ≤，故∠AOB的范围为12，12. 61246121212π5π答案]

12，12