小结优秀教案范文

第一章

集合与函数单元复习

三维目标

通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力. 重点难点

教学重点：①集合与函数的基本知识. ②含有字母问题的研究. ③抽象函数的理解. 教学难点：①分类讨论的标准划分. ②抽象函数的理解. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

建设高楼大厦的过程中，每建一层，都有质量检查人员验收，合格后，再继续建上一层，否则返工重建.我们学习知识也是这样，每学完一个章节都要总结复习，引出课题. 推进新课

新知探究

提出问题

①第一节是集合，分为几部分？

②第二节是函数，分为几部分？

③第三节是函数的基本性质，分为几部分？

④画出本章的知识结构图. 活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图. 讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分. ②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射.

③分为：单调性、最值和奇偶性三部分. ④第一章的知识结构图如图1－1所示，

图1－1 应用示例

例1若P={x|y=x2}，Q={(x，y)|y=x2，x∈R}，则必有(

) A.P∩Q= B.PQ

C.P=Q

D.PQ

分析：从选项来看，本题是判断集合P，Q的关系，其关键是对集合P，Q的意义的理解.集合P是函数y=x2的定义域，则集合P是数集，集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合，则集合Q是点集，∴P∩Q=. 答案：A 点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x)，x∈R}是数集，形如集合{(x，y)|x、y∈P(x，y)，x、y∈R}是点集，数集和点集的交集是空集. 变式训练

1.设集合M=｛x| x>1｝，P={x| x2－6x+9=0}，则下列关系中正确的是(

) A.M=P

B.PM

C.MP

D.M∩P=R

分析：P={3}，∵3>1，∴3∈M.∴PM. 答案：B 2.定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B，且xA∩B}，则(A*B)*A等于(

) A.A∩B

B.A∪B

C.A

D.B

分析：设A={1，2，3，4}，B={1，2，5，6，7}，则A*B={3，4，5，6，7}，于是(A*B)*A={1，

2，5，6，7}=B. 答案：D 点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们公共元素组成的集合. 例2求函数y=x2+1的最小值. 分析：思路一:利用实数运算的性质x2≥0，结合不等式的性质得函数的最小值；

思路二:直接利用二次函数的最值公式，写出此函数的最小值. 解：方法一（观察法）∵函数y=x2+1的定义域是R，

∴观察到x2≥0.∴x2+1≥1.∴函数y=x2+1的最小值是1. 方法二:（公式法）函数y=x2+1是二次函数，其定义域是x∈R，则函数y=x2+1的最小值是f(0)=1. 点评：求函数最值的方法：

观察法：当函数的解析式中仅含有x2或|x|或x时，通常利用常见的结论x2≥0，|x|≥0，x≥0等，直接观察写出函数的最值；

公式法：求基本初等函数（正、反比例函数，一次、二次函数）的最值时，应用基本初等函数的最值结论（看成最值公式），直接写出其最值. 例3求函数y=3x的最大值和最小值. x24分析：把变量y看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x的方程，利用判别式的符号得关于y的不等式，解不等式得y的取值范围，从而得函数的最值. 解：（判别式法）由y=3x得yx2－3x+4y=0，

2x4∵x∈R，∴

关于x的方程yx2－3x+4y=0必有实数根. 当y=0时，则x=0.故y=0是一个函数值；

当y≠0时，则关于x的方程yx2－3x+4y=0是一元二次方程，

则有Δ=(－3)2－4×4y2≥0.

∴0

综上所得，33≤y≤. 44∴

函数y=3x33的最小值是，最大值是. 44x24ax2bxc点评：形如函数y=2(d≠0)，当函数的定义域是R（此时e2－4df<0）时，常用dxcxf判别式法求最值，其步骤是①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0；②分类讨论m＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2－4mk≥0即关于y的不等式，解不等式组n24mk0,此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大m0.值和最小值. 例4函数f(x)=x2－2ax+a在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g(x)=上一定(

) A.有最小值

B.有最大值

C.是减函数

D.是增函数

分析：函数f(x)=x2－2ax+a的对称轴是直线x=a，由于函数f(x)在开区间（－∞，1）上有最小值，所以直线x=a位于区间（－∞，1）内，即a<1.g(x)＝法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性. 设11>0. 又∵a<1，∴x1x2>a.∴x1x2－a>0.∴g(x1)－g(x2)<0.∴g(x1)

分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积（商）等；③由②中差的符号确定函数的单调性.注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D上没有最大值，也没有最小值. 变式训练

求函数f(x)=

x2-1的单调区间. 分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间. 解：函数的定义域是(－∞，－1］∪［1，+∞).设y=u，u=x2－1，

当x≥0时，u=x2－1是增函数，y=u也是增函数，

又∵函数的定义域是(－∞，－1］∪［1，+∞)，

∴函数f(x)=

x2-1在［1，+∞)上是增函数. 当x≤0时，u=x2－1是减函数，y=u也是增函数，

又∵函数的定义域是(－∞，－1］∪［1，+∞)，

2∴函数f(x)=x-1在(－∞，－1］上是减函数，

即函数f(x)的单调递增区间是［1，+∞)，单调递减区间是(－∞，－1］. 点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y=f［g(x)］，如果y=f(u)，u=g(x)有相同的单调性时，函数y=f［g(x)］为增函数，如果具有相异（即相反）的单调性，则函数y=f［g(x)］为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断或写出函数的单调性或单调区间. 注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是［0，+∞)，单调递减区间是(－∞，0］.其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则. 知能训练

1.已知集合P={x∈N|1≤x≤10}，集合Q={x∈R|x2+x－6=0}，则P∩Q等于(

) A.{1，2，3}

B.{2，3}

C.{1，2}

D.{2} 分析：明确集合P、Q的运算，依据交集的定义求P={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，Q={－3，2}，则P∩Q＝{2}. 答案：D

点评：解决本题关键是集合P是大于等于1且小于等于10的自然数组成的集合，集合Q是方程x2+x－6=0的解集，将这两个集合化简后再运算. 2.设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则(S∪T)等于(

) A. B.{2，4，7，8}

C.{1，3，5，6}

D.{2，4，6，8} 分析：直接观察（或画出Venn图）得S∪T={1，3，5，6}，则答案：B

点评：求解用列举法表示的数集运算时，首先看清集合元素的特征，理解并确定集合中的元素，最后通过观察或借助于数轴、Venn图写出运算结果. 3.已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x＋1）－f（x）=2x. （1）求f（x）；

（2）求f（x）在区间［－1，1］上的最大值和最小值. 分析：（1）由于已知f（x）是二次函数，用待定系数法求f（x）；（2）结合二次函数的图象，写出最值. 解：（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c，

由f（0）＝1，可知c＝1. 而f（x＋1）－f（x）＝［a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c］－（ax2＋bx＋c）＝2ax＋a＋b. 由f（x＋1）－f（x）＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0. 因而a＝1，b＝－1. 故f（x）＝x2－x＋1. （2）∵f(x)=x2－x+1=(x－(S∪T)＝{2，4，7，8}. 123)+，

2413)=，f（x）的最大值是f（－1）＝3. 24∴当x∈[－1，1]时，f（x）的最小值是f(课堂小结

本节课学习了：总结了第一章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法.