习题3.1优秀教学设计

专题：函数的零点

一、基础知识

(1)零点的定义：对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫函数y=f(x)的零点。(函数零点不是点，而是使函数值为0的实数，极值点也不是点，是使函数取得极值的实数) (2)零点的存在性定理：如果函数y=f(x)满足:①在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线;②f(a).f(b)<0;则函数y=f(x)在(a,b)上存在零点.(只能判断异号零点,只能判断有,不能准确判断有几个,逆命题不成立.) (3)确定函数零点的常用方法:①解方程;②利用零点的存在性定理; ③数形结合转化为两个图像的交点问题(往往伴随零点、根和图像交点的转化及对方程的适当变形) 二、基本能力养成

1.(2014•北京)已知函数6f(x)log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(

) xA.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 2.(2015•湖北)f(x)=2sin

xsin(x+2)﹣x2的零点个数为____________. 3.(2015•湖南)已知函数f(x)=|2x﹣2|﹣b有两个零点,则实数b的取值范围是_________________. 三、重难点突破

例1.(2016•山东)已知函数|x|,x≤mf(x)2,其中m＞0,若存在实数b,使得关于x的方程x2mx4m,xmf(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是

.

2xa,x1变式1.(2015•北京改编)设函数f(x),若f(x)恰有3个零点, 14(xa)(x2a),x≥则实数a的取值范围是______________

例2.已知函数x1,x≤02f(x),则(1)函数yf(x)f(x)2的零点个数为______________; log2x,x0(2)函数y=f(f(x))+1的零点个数为____________

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变式2.已知函数ax1,x≤0f(x),则下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断正确的是(

) logx,x02A.当a＞0时,有4个零点；当a＜0时,有1个零点

B.当a＞0时,有3个零点；当a＜0时,有2个零点

C.无论a为何值,均有2个零点

D.无论a为何值,均有4个零点

例3、1.若函数f(x)=aex-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是______________ 2.设函数f(x)=ex(2x1)axa,其中a1,若存在唯一整数x0,使得f(x0)0,则实数a的取值范围是（ ）333A.[,1).........................B.[,)2e2e4333C.[,)............................D.[,1)2e42e

例4、（1）已知定义在R上的函数y=f（x）对任意x都满足f（x+1）=﹣f（x），且当0≤x＜1时，f（x）=x，则函数g（x）=f（x）﹣ln|x|的零点个数为（

）

A．2 B．3 C．4 D．5 （2）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x）且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|的零点个数是（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．6 （3）定义在R上的奇函数f（x）满足条件f（1+x）=f（1﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，若函数g（x）=|f（x）|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上有4032个零点，则实数a的取值范围是（

）

A．（0，1） B．（e，e3）

axC．（e，e2）

D．（1，e3）

例5、设函数f（x）=e（a∈R）．

（I）当a=﹣2时，求函数g（x）=x2f（x）在区间（0，+∞）内的最大值；

（Ⅱ）若函数h（x）=

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﹣1在区间（0，16）内有两个零点，求实数a的取值范围．

例6、已知0＜a＜1，函数f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（t∈R）．

（1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，求t的值；

（2）当t=﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；

（3）若函数F（x）=af（x）+tx2+2t+1在区间（﹣1，2]上有零点，求t的取值范围．

【课后作业】

1.在下列区间中,函数f(x)=ex+4x﹣3的零点所在的区间为(

) A.(,)

B.(﹣,0) C.(0,) D.(,) 2.已知函数f(x)=|x﹣2|+1 ,

g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是(

) A.(0,) B.(,1) C.(1,2) D.(2,+∞) 3.对实数a与b,定义新运算“”:ab1a,ab≤.设函数f(x)=(x2﹣2)(x﹣x2),x∈R.若函数y=f(x)﹣cb,ab1的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是(

) 331131A.(,-2](-1,)B.(,-2](-1,-)C.(,)(,+)D.(-1,-)[,+)2444444.若a＜b＜c,则函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)+(x﹣b)(x﹣c)+(x﹣c)(x﹣a)的两个零点分别位于区间(

) A.(a,b)和(b,c)内

B.(﹣∞,a)和(a,b)内

C.(b,c)和(c,+∞)内

D.(﹣∞,a)和(c,+∞)内

2|x|,x≤25.已知函数f(x),函数g(x)=3﹣f(2﹣x),则函数y=f(x)﹣g(x)的零点个数为(

) 2(x2),x2第3页

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A.2 B.3 C.4 D.5 6.已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当时x∈[﹣1,1]时,个数是(

) A.9

B.10

C.11

D.18 f(x)2|x|,则函数F(x)=f(x)﹣|lgx|的零点7.已知函数y=f(x)和y=g(x)的定义域均为{x|﹣2≤x≤2},其图象如图所示：

给出下列四个命题：

①函数y=f[g(x)]有且仅有6个零点；

②函数y=g[f(x)]有且仅有3个零点；

③函数y=f[f(x)]有且仅有5个零点；

④函数y=g[f(x)]有且仅有4个零点. 其中正确的命题是(

) A.①②

B.①③

C.②③④

D.①③④

8.用[x]表示不超过x的最大整数,若函数y=kx-[x]恰好有三个零点,则实数k的取值范围是

(

) 223324324A.(,2)B.(,][,2)C.(,][,2)D.(,1][,2)

33423323319.函数f(x)2sinx(3≤x≤5)的所有零点之和等于(

)

x1A.2

B.4

C.6

D.8 10.已知函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是(

) A.(﹣∞,0) 11.已知函数B.(0,) C.(0,1) D.(0,+∞) 21的零点为x0,且x0∈(n,n+1),则整数n的值为___________ f(x)lnxx1|x1|51,x≥012.设定义在R上的函数f(x)2,若关于x的方程f2(x)-(2m+1)f(x)+m2=0有7个不同的实x4x4,x0数解,则m=_________ 3x,x≤a13.已知函数f(x)2若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是

. x,xa第4页

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