信息技术应用 收集数据并建立函数模型教学设计及教案分析

3.2

信息技术应用

收集数据并建立函数模型

杭州市艮山中学

张胜黎

一、

教学内容与核心素养分析

1.

地位和作用

本节课是人教A版数学必修1第三章第二节<<函数模型及其应用>>的拓展性内容，结合信息技术的应用，体会数学是工具学科（思考和表达的工具），是进行其他科学研究的基础。从科学的情境入手，提出问题，分析问题，建立拟合函数模型解决实际问题。感知数学模型是借助数学语言讲述现实和数量、图形有关的故事，是连接两者的桥梁，数学模型的价值不是数学本身而是对所描述学科起到实际作用，体现数学是应用的科学和科学的应用，是其他学科共同的基础和有力的工具。

2.

教学内容解析

通过适当的生活情境和科学情境，引导学生发现问题，提出问题，让学生对收集的数据去分析，去抽象、去推理从经验性逻辑思维向抽象性逻辑思维发展，经历数学抽象，体会数学建模的过程。

本节课侧重于让学生对收集的数据进行数学抽象，留下对应关系比较明确的数量关系，用形式化的数学语言确定变量并进行定性定量分析，利用已有的数学知识对客观实际问题进行数学抽象概括，利用函数的特性选择适当的函数进行拟合，建立函数模型并检验完善函数模型的过程。在函数模型的选择和应用上，力图让学生感受到生活中大多数变化现象是较难直接建立数学模型重在利用数学内容内在联系科学分析数据，感受建立数学模型是实际问题和数学问题的桥梁。激发学生学习数学和运用数学的兴趣，积累应用数学知识解决实际问题的有效经验。

通过本课让学生经历从具体科学情境中收集整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论，概括和形成知识的过程。培养学生能提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力，形成通过数据认识事物的思维品质；积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。

3.

数学核心素养

本节课围绕数据分析、数学抽象、数学建模三大核心素养进行教学设计，体现数学是有用的，是科学的语言，是一切科学和技术的基础，是我们思考和解决问题的工具。数学的背景，形成过程，应用，以及它和其他学科的概念和内容的联系是水到渠成，浑然天成的。数学是清楚的，对于数据的收集，处理和分析都是真实的，不是凭空编造的，数据处理是其他学科知识研究和发展的基石，使科学探究成为可能。

二、

教学目标和目标解析

1、

教学目标

根据收集的数据，分析问题所提供的数据的特点，由数据特点抽象出函数模型，并选择适合的函数模型进行拟合注意实际变量的适用范围，并检验结果的合理性（是否真实存在）。

1.

目标解析

（1）从杭州文化龙井茶引入，给出测量得到的统计数据表，通过画图，数学抽象联想数形间的相互关系，函数模型去拟合感受数据科学的收集和处理的必要性。

（2）实践操作数据的处理和分析，运用计算机，数据采集器，温度传感器等信息技术工具，收集水温变化数据，建立时间与温度的函数模型。 （3）感受学科间知识点的相互交叉，学会科学严谨的求知精神和学习态度。明白自然学科中数学作为基础学科提供了强大的理论操作基石。

三、

教学问题诊断

信息技术只是教学的辅助手段，学生进行数学的思考和分析，运用已学的数学知识做出、判断和解决问题才是关键，在过程中要积极根据学生的反应创设能够利用所学知识解决真实问题的机会。

学会运用信息技术严谨获取实验数据和结合计算机建立函数模型。体会信息技术解决数学问题的简单，方便作图形象直观，摆脱传统手段的低效和大量的数据偏差。突出所用的物理化学实验中的数学体验，感悟数据分析和处理的意义。

四、

教学条件支持

借助计算机---数据采集器----温度传感器等信息技术工具收集数据。

五、

教学过程

环节一：发现和提出问题

(一)

创设生活情境

视频----清明谷雨龙井问茶。

教师点明：好的茶艺师能很好的控制茶艺表演的时间和水温的变化，做到心中有数，手中有度；将整个过程优雅完美展现，时间和水温都恰到好处。并提问：这里水温随着时间是怎么变化的呢? 设计意图：数学的眼光观察世界，发现和提出问题。

(二)

数据中有用的信息进行分析和推断

课前准备作业为了使得收集的每个数据彼此明显些，观测时间间隔为3至5分钟，在50分钟内收集12个数据。

1、

列表观察

时间x

0 2 5 10 14 20 25 28 32 38 41 45 50

温度y

99 97 86 79 74 68 64 61 59 55 53 51 50 2、

描点作图

1

可以画出大致图象，发现随着时间的增加水温下降并最终趋于一个常量，我们能否用函数关系来表示这个规律呢？

3、确定变量

以时间为x，水温为y，寻找变量间的对应关系一一对应。我们恰好完成了这个变化规律的两种函数表达形式：列表法和图象法。现在来寻找一下这个变化规律的函数解析式，即水温随时间变化的函数模型。

画一画，想一想在现有的数据下可以找出来的规律。

设计意图：研究两个变量之间的关系（数学的角度），通常是令其中一个为自变量x，另一个为因变量y，两者是一一对应的函数关系，我们把时间作为x轴，温度作为y轴。从函数的角度可以采用的表示方法：列表，图象法，解析式。

4、猜想函数模型（由图到式）

由已知的数据，观察所画的图象是散点图，一个时间对应一个温度，可以看出水温和时间的关系是一条下滑的线。对应这一特点的是在定义域范围内单调递减的函数，观察x

的取值范围是

.尝试用学过的函数进行拟合，那么在已学过的函数关系式中，有哪些函数的图象符合要求？

生预设：：最简单的关系是直线，函数关系是

观察图象得到:

图形演示：依据---两点确定一条直线，那么多点（数据）可以确定很多条直线，但是可以清楚看到不可能有大多数点都属于同一条直线

由两点确定一条直线可以画出很多直线，哪一条直线是最贴近这些离散点的呢？找出所有点的大致趋势，然后用一个标准去衡量这些直线中，哪一条直线使得那些散点分布从整体上看大致在这条直线附近。数学上用“最小二乘法”（播放PPT图片）对这些点的到所选定直线的距离进行测算，所得的数值越小，说明点越密集的围绕在选定的直线附近，这个方法在必修3和选修2-3中会进一步学习。

通过图形演示发现：选两个点确定的直线去表达这些离散点时，游离在直线外的点还是相当多，有没有比一次函数更贴切的函数模型拟合得更好呢？

比如仍然选择两点确定一条直线，但是只选取相邻的时间间隔点用线段去连接，可以得到怎样的图象？

折线图，确实把所有点都串起来了，但是写函数解析式时我们要写成分很多段的函数，不够简洁，最关键的是它还取决手测数据时间间隔是否够科学，跟实际情况是否完全一致。

当时间间隔足够小，点足够密集的时候，会有什么情况发生？只有图上的手测数据是不够的，利用信息技术让时间间隔小一些数据足够多，观察效果可能更佳。

温度

150 100 50 0 0 20 40 60 温度

温度

150 100 50 0 0 20 40 60 温度

设计意图：对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中有用的信息进行分析和推断，形成知识的过程：收集、整理数据，提取信息，构建模型，对信息进行分析，推断获得初步结论。

环节二：分析和解决问题

创设科学情境动手实践（利用物理课上学过的实验方法）

人工手测不能完成的情况下，选择用信息技术去代替人工完成数据收集。（用物理实验的数据采集器）（PPT播放操作步骤，学生实践）

1、

收集数据，画图提出假设

用温度传感器(播放提前录制的小视频时段3：30)演示数据收集。

关键步骤：确定横坐标和纵坐标的变量：x轴为时间，y轴为温度。（确定变量）

设计意图：数学的眼光观察世界，从实例中抽象出研究的变量为时间x与温度y之间的关系。大数据时代，要运用信息技术提升数据分析的能力，从而依托数据获得探索不同事物之间的联系和规律，并对事物的变化做出预测。

2、依托图表，理顺数量关系（由图到式）

①收集数据②作散点图③画出图象；

发现当用计算机作图选择图像时，有多种函数模型可供选择。都实验一下，看看效果如何？

问题1：多个函数模型可以选择时，依据什么进行尝试？

回顾学过的几种函数几种不同增长的函数模型：（PPT）

常数函数

一次函数

指数函数

指数爆炸

对数函数

对数增长

没有增长

直线上升（下降）

保持不变

匀速增长

先慢后快（

）（先快后慢（

））

先快后慢

常见的增长函数模型

（1）

（2）

（3）

线性函数模型：

二次函数模型：

指数函数型模型：

或

（4）

对数函数型模型：

或

）

观察离散点的分布，归纳图形的变化趋势，猜想可选择的函数模型。

3、抓住关键，建立函数模型（数学地思考）

PPT对比展示做出的图形，观察分析图形特征，多个函数图象在所收集的点上的拟合情况相近如何选择？

学生思考，分小组讨论，做出选择，说明理由。

常见的函数模型

（1）直线模型：即一次函数模型

增长特点直线上升或下降；

（2）指数函数模型：指数函数增长特点随着自变量的增长，函数值增长越来越快（

），或者随着自变量的增长，函数值减少的越来越慢（

）

（3）对数函数模型：对数函数

且

增长特点随着自变量增大，函数值增大的速度越来越慢（

）, 或者随着自变量的增长，函数值减少的越来越慢（

）

（4）幂函数模型：

最常用二次函数

。

设计意图：用数学的方法去思考世界，人脑做出选择理论依据是：用函数的性质去进行函数模型的选择，选定后让系统自动生成图象去拟合离散点。机器只是手段，选择还在人，人运用数学思想分析问题做出决断。

4、精确计算，求解数学问题（利用EXCEL）

利用信息技术对所得模型进行验证和完善

对函数模型的结果进行观察（利用计算机进行检验）

发现1：对收集的数据进行拟合时，选择同一个函数模型，前半段时间统计的数据拟合出来的关系式，和后半段时间拟合出来的关系式会不一样，比如: 选择二次函数作为函数模型得到的结果：

（前半段测试数据处理出来的函数模型）

（后半段测试数据处理出来的函数模型）

猜测用多项式去拟合温度与时间变化，可能不适合整个温度变化过程。

发现2：多个函数曲线看起来都比较吻合那些离散点图的时候，怎么办？

指数系列：

多项式系列：

（x指数为4次）

线性系列：

数学的理论依据：想想学过的函数有哪些表达方式（列表，图象，解析式），函数有哪些（定义域，值域，对应关系，奇偶性，周期性，单调性等）

由式到图

问题2：能不能用上述这些函数特质去判断所得出的函数模型是否适合？

在已给的图中只有测得的50个时间点的数据，图象不完整，可以利用计算机通过复杂的运算和作图，使图象完整。

以多项式函数为例，选取多项式去拟合的时候，对多项式的指数进行变化，当离散点较少看不出两个图形有明显区别的时候，设置周期进行趋势预测。

5、回归实际，检验问题结果

由函数的图象性质马上得出结论：一个函数模型都不符合教室里测得的水温与时间的变化,客观事实是常温下热水放置到一定时间，温度趋于室温。

设计意图：用已有的数学知识和方法去思考解决问题题，对所得的函数模型进行检验和完善。同时注意实际问题的具体生活背景----数学来源于生活，数学地观察和思考现实生活中的具体问题。让学生体会--计算机只是工具和手段，辅助我们处理比较复杂的作图和计算，我们做出思考和选择的时候要依据数学的知识和思想方法。

由此用图象来说明指数型函数的图象趋势比较符合我们的生活常识，但也存在一些问题。

前面利用计算机得到的是

教室里放置的水温不会趋于0度。当

趋于无穷时，

看起来会趋于0，好像不太对。

思考一下现实世界，水放在自然环境里温度会趋于室温20C，而不是0C，怎么处理我们的数据和函数模型可以解决这个问题,使得函数模型符合实际生活背景的检验。

常温状态下，水温随时间变化应该趋于一个常量的。用数学语言来表示就是

,

室温。由此观察得到的几个函数模型中最接近的就是指数型函数了，但直接用EXCEL求得的函数模型似乎存在问题。

怎么去完善这个函数模型，让它符合我们的生活常识。观察图象中中离散点的位置，如果这些点做怎样的变化，就恰好可以让

，

. 从图象的角度调整就是曲线的弯曲度不变，下降速度变化不变，然后整体下移多少，可以让曲线趋势贴近x轴？

只需每个离散点的横坐标不变，纵坐标下降一个定值----即常温。（PPT演示）

所以用计算机重新处理数据，将所有的y温度值都减去常温，所得的值为新的y，重新做散点图，进行函数拟合，出来的表达式就比较接近现实数据了。由此，得到了水温与时间的变化关系的函数模型：

，其中k为正的常数，

y0室温，yi为开始时刻的水温，y为随时间变化的水温。

这个就是英国物理学家和数学家牛顿提出的常温环境下温度变化的冷却模型。现实生活中这个模型可以用在很多地方，不光只是常温下水温随时间的变化关系。

环节三：模型的应用

动手处理刚才收集的数据，重新用计算机拟合出函数模型，并记录小组所测得的数学模型。设计一个方案对冷却模型验证，然后探究下列问题：

早餐煮熟了一个鸡蛋温度有98C

，我们着急要吃完出门去，妈妈会把它放在冷水里降温，若水池里温度18C，5分钟后鸡蛋温度为38C，假定整个过程中不再继续往池中加入冷水，问多久后鸡蛋温度达到20C？

小结：就认识世界而言，数学应是一个思考工具，表达工具，而不是计算工具。冯•诺依曼说：“如果有人不相信数学是简单的，那是因为他们没有意识到人生有多复杂”

六、

目标达成

ktyyyy(yy)e0i0函数模型：，其中k为正的常数，0室温，i为开始时刻的水温，y为随时间变化的水温。

这个就是英国物理学家和数学家牛顿提出的常温环境下温度变化的冷却模型。请设计一个方案对牛顿冷却模型进行验证。

冷却模型应用：

1、一杯开水的温度降到50C时大约需要多少时间？

2、某天中午12:00时，在一个住宅内发现一具受害者尸体。法医于12:35赶到现场，立即测得死者体温是30.8度，一个小时以后再次测得体温为29.0度，法医还注意到当时室温是28.0度，请你建立一个数学模型来推断出受害者的死亡时间。 题2分析：

（1）假设房间足够大，放入温度较高（低）物体时，室内温度不受影响。

（2）物体各点温度保持一致

（3）人体正常体温37.5度

（4）以死亡时刻为初始时刻，时间为分钟

由冷却模型时间

？

12:35 13:35

尸体温度

37.5 30.5 29 室内温度

28 28 28

答案：11点23分