小结课堂实录

函数的综合应用

教学目的：1在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力

2掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养

3初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力

4树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题

教学重点：握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养

教学难点：函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力

教学方法：讲练结合法 教具准备：三角板

教学过程：

一.知识点归纳 函数的综合问题主要有如下几个方面：

1函数的概念、性质和方法的综合问题；

2函数与其它知识，如方程、不等式、数列的综合问题；

3函数与解析几何的综合问题；

4联系生活实际和生产实际的应用问题

函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用: 在应用中深化基础知识在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展

以数学知识为载体突出数学思想方法数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化因此本课题也十分重视转化的数学思想

重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的

重点是通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用

难点是函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高

二.题型讲解 例1 已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是（

）

A0

B1

C0或1

D1或2 分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1 F时没有交点，

所以选C

例2方程lgx+x=3的解所在区间为（

）

A(0，1)

B(1，2) 321yC(2，3)

D(3，+∞)

分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与图象(如图2)它们的交点横坐标x0，显然在区间(1，3)o12x03xy=-x+3的内，由此可凭直观就lgx=lg2，排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单比较困难了实际上这是要比较x0与2的大小当x=2时，3-x=1由于lg2＜1，因此x0＞2，从而判定x0∈(2，3)，故本题应选C

说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间数形结合，要在结合方面下功夫不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断

例3 (1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，试证明之；

(2)试用上面结论证明下面的命题：

若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1

分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的因此本问题的证明要从函数单调性入手

(1)证明：

当k＞0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；

当k＜0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0

所以对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立

(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1则

f(a)=(b+c)a+bc+1

当b+c=0时，即b=-c， f(a)=bc+1=-c2+1

因为|c|＜1，所以f(a)=-c2+1＞0

当b+c≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x的一次函数

因为|b|＜1，|c|＜1，

f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0

由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0

说明：问题(2)的关键在于“转化”“构造”把证明ab+bc+ca＞-1转化为证明ab+bc+ca+1＞0，

由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是对称的，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的条件下证明f(a)＞0(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b)＞0)

三.课时小结：

综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的

四.学生练习 1对函数f(x)3x2axb作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是

(

)

Ag(t)log1t

Bg(t)()

212tCg(t)=(t－1)

Dg(t)=cost 2方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是

(

) 2y-2-1o12yyx2yx-1o12Cyx-1o12A-2-1o1Bx-2-1o1Dx

3已知命题p：函数ylog0.5(x2xa)的值域为R，命题q：函数y(52a)x是减函数若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是

Aa≤1

Ba<2

C1

Da≤1或a≥2 4方程lgx＋x＝3的解所在的区间为（ ）

A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,+∞)

五、板书设计

函数的综合应用

一. 提出问题 二.新课讲解 三.例 四.学生练习

六、教学后记：