小结教学目标设计

章末分层突破

①确定性②互异性③描述法④交集

⑤补集

⑥定义域⑦图象法⑧解析法⑨奇偶性

[自我校对]

1

集合的运算

集合的运算是指集合间的交、并、补集三种常见的运算．若集合中的元素是离散的，集合的运算一般运用定义或韦恩图；若集合中的元素是连续的(如用不等式表示的)，则用数轴法；特别地，若集合中含有参数，有时需要对参数进行讨论．

已知全集为U＝R，集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，M＝{x|2x－a＜0}．

(1)求A∩(∁UB)；

(2)若(A∪B)⊆M，求实数a的取值范围．

【精彩点拨】

(1)利用数轴，根据集合的基本运算即可求A∩(∁UB)；

(2)根据(A∪B)⊆M，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

【规范解答】

(1)因为A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，所以∁UB＝{x|x≥3或x≤0}，

则A∩(∁UB)＝{x|－1＜x≤0}．

a(2)A∪B＝{x|－1＜x＜3}，M＝{x|2x－a＜0}＝xx<2

a，若(A∪B)⊆M，则2≥3，解得a≥6，

则实数a的取值范围[6，＋∞)．

[再练一题]

1．已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2＋ax＋6＝0}且B⊆A，求实数a的取值范围.

【解】

∵集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，且B⊆A，

∴B＝∅，或B＝{2}，或B＝{3}，或B＝{2,3}，

若B＝∅，则Δ＝a2－24＜0，解得a∈(－26，26)，

若B＝{2}，B中方程的常数项为4≠6，故不存在满足条件的a值；

若B＝{3}，B中方程的常数项为9≠6，故不存在满足条件的a值；

若B＝{2,3}，则a＝－5，

2

综上，实数a的取值范围为{－5}∪(－26，26).

函数的概念

函数有三要素：定义域、值域和对应关系，其中定义域是研究函数问题的前提条件，研究函数的性质首先要注意函数的定义域，而求函数的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点．

3x2

(1)函数y＝＋(2x＋1)0的定义域是________．

1－2x1x＋，x∈A，112(2)设集合A＝0，2，B＝2，1，函数f(x)＝21－x，x∈B，且f(f(x0))∈A，则x0的取值范围是(

) 1A.0，4

11C.4，2

11B.4，2

30，D.

8

若x0∈A，【精彩点拨】

(1)根据函数的解析式，列出使函数有意义的不等式组，求出解集即可．

1(2)先由x0∈A计算f(x0)的值，依据f(x0)的范围计算f(f(x0))，由0≤f(f(x0))<2求x0的取值范围．

1－2x>0，3x20【规范解答】

(1)∵函数y＝＋(2x＋1)，∴

2x＋1≠0，1－2x11解得x＜2，且x≠－2，

11∴函数的定义域是xx<2，且x≠－2

. (2)∵x0∈A，

1∴f(x0)＝x0＋2∈B，

11∴f(f(x0))＝fx0＋2＝21－x0－2，

即f(f(x0))＝1－2x0∈A，

111∴0≤1－2x0<2，即4

3

又x0∈A，

11∴4

[再练一题]

2．已知二次函数y＝f(x)的最大值为13，且f(3)＝f(－1)＝5，则f(x)＝______.

【解析】

因为f(3)＝f(－1)＝5，所以函数y＝f(x)的对称轴为x＝1，又y＝f(x)的最大值为13，所以可设f(x)＝a(x－1)2＋13，且a<0，由f(3)＝a(3－1)2＋13＝5，解得a＝－2，所以f(x)＝－2(x－1)2＋13，即f(x)＝－2x2＋4x＋11. 【答案】

－2x2＋4x＋11

函数的性质

本章主要学习了函数的单调性和奇偶性这两个基本性质．利用单调性可以比较函数值的大小，求函数的值域和最值，作出函数的图象等，它反映了函数值随自变量大小变化的情况，函数的奇偶性则反映了函数值的符号随自变量变化的情况，是函数图象对称性的数量表示．函数奇偶性和单调性的综合应用是高考的重点与热点内容．

b5

已知函数f(x)＝ax＋x＋c(a，b，c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝2，17f(2)＝4，

(1)求a，b，c的值；

1(2)试判断函数f(x)在区间0，2上的单调性，并证明．

【精彩点拨】

(1)由函数是奇函数得到c＝0，再利用题中的2个等式求出a，b的值．

10，(2)在区间上任取两个自变量x1，x2，将对应的函数值作差、变形到因2式积的形式，判断符号，依据单调性的定义做出结论．

【规范解答】

(1)∵f(－x)＝－f(x)，∴c＝0. 11(1)xx＜2，且x≠－2



(2)C 4

5f1＝2，∵17f2＝4，

5a＋b＝2，∴b172a＋2＝4，

a＝2，∴1b＝.2

1(2)∵由(1)可得f(x)＝2x＋2x，

110，∴f(x)＝2x＋2x在区间上是单调递减的．

21证明：设任意的两个实数00,0



[再练一题]

3．已知函数f(x)＝x2＋4x＋3. (1)若g(x)＝f(x)＋bx为偶函数，求b；

(2)求函数f(x)在[－3,3]上的最大值．

【解】

(1)g(x)＝f(x)＋bx＝x2＋(b＋4)x＋3，g(－x)＝x2－(b＋4)x＋3. ∵g(x)＝g(－x)，∴b＋4＝0，∴b＝－4. (2)f(x)＝x2＋4x＋3关于直线x＝－2对称，因此f(x)在x＝－2取得最小值－1，在x＝3取得最大值24.

数形结合思想

数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象的思维和形象思维相结合，把问题灵活转化、化难为易、化抽象为具体、化数为形．

已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x，

5

(1)求函数f(x)在R上的解析式；

(2)若函数f(x)在区间(－1，a－2)上单调递增，求实数a的取值范围．

【精彩点拨】

(1)根据函数奇偶性，即可求函数f(x)在R上的解析式；

(2)做出函数f(x)的图象，利用数形结合的思想即可求出a的取值范围．

【规范解答】

(1)设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x) 于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x. 又f(0)＝0，

2－x＋2x，x≥0，所以f(x)＝2

x＋2x，x<0.2－x＋2x，x≥0，(2)作出函数f(x)＝2的图象如图：

x＋2x，x<0

则由图象可知要使f(x)在(－1，a－2)上单调递增，

a－2>－1，则所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．

a－2≤1，[再练一题]

4．已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域均为[－3,3]，且它们在x∈[0,3]上的图象如图1-1所示，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________．

图1-1 【解析】

不等式f(x)g(x)<0等价于f(x)与g(x)异号，如图所示：当x＞0时，其解集为(0,1)∪(2,3)，∵y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，∴f(x)g(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)g(x)＞0，∴其解集为(－2，－1)．

6

综上，不等式f(x)g(x)<0的解集是{x|－2＜x＜－1或0＜x＜1或2＜x＜3}．

【答案】

{x|－2＜x＜－1或0＜x＜1或2＜x＜3}

1．已知集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝(

) A．{4,8}

C．{0,2,6,10}

B．{0,2,6} D．{0,2,4,6,8,10} 【解析】

∵A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，

∴∁AB＝{0,2,6,10}．

【答案】

C 2．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝(

) A．{x|2＜x＜5}

C．{x|2＜x＜3}

B．{x|x＜4或x＞5} D．{x|x＜2或x＞5} 【解析】

A∩B＝{x|2＜x＜4}∩{x|x＜3或x＞5}＝{x|2＜x＜3}．

【答案】

C 3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝(

) A．{1,3}

C．{2,3}

B．{1,2} D．{1,2,3} 【解析】

因为A＝{1,2,3}，所以B＝{y|y＝2x－1，x∈A}＝{1,3,5}，所以A∩B＝{1,3}．

【答案】

A x2，x≤1，4．已知函数f(x)＝6x＋－6，x>1，x是________．

61【解析】

f(f(－2))＝f(4)＝4＋4－6＝－2. 当x≤1时，f(x)min＝0；

6当x>1时，f(x)＝x＋x－6. 7

则f(f(－2))＝________，f(x)的最小值

易证f(x)在(1，6)上递减，在(6，＋∞)上递增．

∴f(x)的最小值为f(6)＝6＋综上，f(x)的最小值是26－6. 1【答案】

－2

26－6 15．已知函数f(x)＝ax2＋x，其中a为实数．

(1)根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若a∈(1,3)，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由．

1【解】

(1)当a＝0时，f(x)＝x，显然是奇函数；

当a≠0，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且f(1)＋f(－1)≠0，

所以此时f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

(2)设x1，x2∈[1,2]，且x1

x2－x11则f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋xx＝(x1－x2)ax1＋x2－xx，

1212因为x1

111所以20，

12126－6＝26－6. 6所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

故函数f(x)在[1,2]上单调递增．

8