习题2.1公开课教学设计模版

第二章

函数概念与基本初等函数

习题

2.1

1．分数指数幂

n(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是a＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定a指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ars，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. ＋mnmn＝1amn(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数2．指数函数的图象与性质

y＝ax

a>1

0

定义域

值域

(1)R

(2)(0，＋∞)

(3)过定点(0,1)

性质

(4)当x>0时，y>1；

当x<0时，0

【知识拓展】

1．指数函数图象画法的三个关键点

1画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(－1，)．

a2.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．

(5)当x>0时，0

当x<0时，y>1 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数

题型一

指数幂的运算

例1

化简下列各式：

(1)[(0.064)2316122.5533]33π0;

81213(2)(ab)abab512

2327164)]()31

解

(1)原式＝[(810001552521()43133[()]523[()]31

10253＝－－1＝0. 22(2)原式＝111326ababab165613121213

ab1152361.

a思维升华

(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

11

化简()248答案

5(4ab1)3(0.1)1(a3b)132＝________. 解析

原式＝22ab10ab3233232328213101.

5

题型二

指数函数的图象及应用

例2

(1)已知实数a，b满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(

) A．a<0，b<0，c<0

C．2a<2c

－B．a<0，b≥0，c>0 D．2a＋2c<2 答案

(1)B

(2)D 解析

(1)如图，观察易知，a，b的关系为a

(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，

∵af(c)>f(b)，结合图象知，

00，

∴0<2a<1. ∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，

∴f(c)<1，∴0

又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，

∴2a＋2c<2，故选D. 思维升华

(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

)

A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．0

答案

(1)D

(2)[－1,1]

解析

(1)由f(x)＝ax函数f(x)＝ax－b－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0

题型三

指数函数的性质及应用

命题点1

指数函数单调性的应用

例3

(1)(2016·威海模拟)下列各式比较大小正确的是(

) A．1.72.5>1.73

C．0.8－0.1B．0.61>0.62

－>1.250.2

D．1.70.3<0.93.1

12x－7，x<0，(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．

x，x≥0，答案

(1)B

(2)(－3,1) 解析

(1)选项B中，∵y＝0.6x是减函数，

∴0.61>0.62. －

1(2)当a<0时，不等式f(a)<1可化为()a－7<1，

2111－即()a<8，即()a<()3，

222∴a>－3.又a<0，∴－3

∴0≤a<1，

综上，a的取值范围为(－3,1)．

命题点2

复合函数的单调性

例4

(1)已知函数f(x)＝2|2x范围是________．

(2)函数f(x)()－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值12x22x1的单调减区间为_________________．

答案

(1)(－∞，4]

(2)(－∞，1] mm解析

(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]上单调22递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．

1u(2)设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝2在R上为减函数，

∴函数f(x)()－m|m在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，212x22x1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．

又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，

∴f(x)的减区间为(－∞，1]．

引申探究

函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．

答案

[0，＋∞) 解析

设t＝2x，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，

令2x≥1，得x≥0，

∴函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．

命题点3

函数的值域(或最值) 1x1x例5

(1)函数y＝4－2＋1在区间[－3,2]上的值域是________．

(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．

31，57

(2)或3 答案

(1)431x解析

(1)令t＝2，因为x∈[－3,2]，

1所以t∈4，8，

13t－2＋. 故y＝t2－t＋1＝24

13当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57. 243，57. 故所求函数的值域为4(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 11当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[，a]，又函数y＝(t＋1)2－2在a，a上单调递增，

a所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．

1当0

a1又函数y＝(t＋1)2－2在[a，]上单调递增，

a11则ymax＝(＋1)2－2＝14，解得a＝(负值舍去)．

a31综上，a＝3或a＝. 3思维升华

(1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论；(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解．

1－2x，a≤x＜0，

(1)已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围2－x＋2x，0≤x≤4是(

) A．(－∞，－3]

C．[－3，－1]

－

B．[－3,0) D．{－3} (2)(2015·福建)若函数f(x)＝2|xa|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．

答案

(1)B

(2)1 解析

(1)当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，

1当a≤x＜0时，f(x)∈[－()a，－1)，

21所以[－a，－1)[－8,1]，

21即－8≤－a＜－1，即－3≤a＜0，

2所以实数a的取值范围是[－3,0)．

(2)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴为x＝1，

∴a＝1，f(x)＝2|x1|，∴f(x)的增区间为[1，＋∞)，

－∵[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m≥1.∴m的最小值为1.