阅读与思考 集合中元素的个数教案2

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第1课时

随机事件的概率

[核心必知] 1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P108～P112，回答下列问题．

(1)客观世界中，有些事件的发生是偶然的，有些事件的发生是必然的，有些事件可能发生也可能不发生，若把这些事件分类，可分为哪几类？

提示：根据这些事件可能发生与否，可将事件分为必然事件、不可能事件、随机事件．

(2)教材所做的抛掷一枚硬币的试验中，每个同学所得试验结果是否一致？

提示：不一致，因为正面朝上这个事件是随机事件，可能发生也可能不发生．

(3)事件A发生的频率fn(A)是不是不变的？事件A的概率P(A)是不是不变的？它们之间有什么区别与联系？

提示：频率是变化的，而概率是不变的，频率因试验的不同而不同，概率则不然，概率是频率的稳定值，是不随着频率的变化而变化的．

2．归纳总结，核心必记

(1)事件的概念与分类

不可能事件：在条件S下，一定不会发生的

事件，叫做相对于条件S的不可能事件确定事件必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，事件

叫做相对于条件S的必然事件随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，

叫做相对于条件S的随机事件高考资源网版权所有，侵权必究！

(2)频数与频率

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在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出nA现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

n(3)概率

①含义：概率是度量随机事件发生的可能性大小的量．

②与频率联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．

[问题思考] (1)事件的分类是确定的吗？

提示：事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化．

(2)频率和概率可以相等吗？

提示：可以相等．但因为每次实验的频率是多少是不固定，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的．

(3)频率与概率有什么区别与联系？

提示：

区别

频率

频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的

概率

概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小

联系

频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，

频率会越来越接近概率

[课前反思] 通过以上预习，必须掌握的几个知识点：

(1)事件的分类：

；

(2)概率的含义：

；

(3)概率与频率的联系：

.

观察下列几幅图片：

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事件一：常温下石头在一天内能被风化．

事件二：木柴燃烧产生热量．

事件三：射击运动员射击一次中十环．

[思考]

以上三个事件一定发生吗？

名师指津：事件一在常温下不可能发生，是不可能事件；事件二一定发生，是必然事件；事件三可能发生，也可能不发生，是随机事件．

讲一讲

1．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：

(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．

(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．

(3)若x∈R，则x2＋1≥1. (4)掷一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2. [尝试解答]

由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．

判断事件类型的步骤

要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．

练一练

1．(2016·西南师大附中检测)下列事件：①一个口袋内装有5个红球，从中任取一球是红球；②掷两枚骰子，所得点数之和为9；③x2≥0(x∈R)；④方程x2－3x＋5＝0有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队会在下届世界杯足球赛中夺得冠军，其中随机事件的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 解析：选B

在所给条件下，①是必然事件；②是随机事件；③是必然事件；④是不可能事件；⑤是随机事件.

小明抛掷一枚硬币100次，出现正面朝上48次．

[思考1]

你能计算出正面朝上的频率吗？

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(1)计算表中优等品的各个频率．

(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？

解：(1)如下表

抽取球数目

50

优等品数目

45

100

92

200

194

500

1 000

2 000 470

954

1 902 优等品频率

0.9

0.92

0.97

0.94

0.954

0.951 (2)根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95.

讲一讲

3．某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．

(1)写出这个试验的所有结果；

(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．

[思路点拨]

根据日常生活的经验按一定的顺序逐个列出全部结果．

[尝试解答]

(1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x＝3时，y＝1,2,4；当x＝4时，y＝1,2,3. 因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．

(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．

列举试验所有可能结果的方法

(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件；

(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树形图、列表等方法解决．

练一练

3．袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．

(1)从中任取1球；

(2)从中任取2球．

解：(1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．

(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑) 6种．

——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————

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1．本节课的重点是了解概率的含义，了解频率与概率的区别与联系，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，难点是能列出一些简单试验的所有可能结果．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)会判断事件的类型，见讲1. (2)掌握利用频率估计概率的步骤，见讲2. (3)会列举试验所有结果的方法，见讲3. 3．本节课的易错点有两个：

(1)混淆频率与概率概念，如讲2. (2)列举试验结果时易出现重复或遗漏，如讲3.

课下能力提升(十五) [学业水平达标练] 题组1

事件的分类

1．下列事件中，是随机事件的有(

) ①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；

②若a为整数，则a＋1为整数；

③发射一颗炮弹，命中目标；

④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

解析：选C

当a为整数时，a＋1一定为整数，是必然事件，其余3个为随机事件．

2．从12个同类产品(其中10个是正品，2个是次品)中任意抽取3个的必然事件是(

) A．3个都是正品

B．至少有1个是次品

C．3个都是次品

D．至少有1个是正品

解析：选D

任意抽取3件的可能情况是：3个正品；2个正品1个次品；1个正品2个次品．由于只有2个次品，不会有3个次品的情况.3 种可能的结果中，都至少有1个正品，所以至少有1个是正品是必然发生的，即必然事件应该是“至少有1个是正品”．

3．在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？

①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；

②从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；

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(2)这一地区男婴出生的频率是否稳定在一个常数上？

解：(1)男婴出生的频率依次约为：0.520 0,0.517 3，0.517 3，0.517 3. (2)各个频率均稳定在常数0.517 3上．

8．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布：

成绩

90分以上

80分～89分

70分～79分

60分～69分

50分～59分

50分以下

人数

43 182 260 90 62 8 经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)：(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以下．

解：总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645. 修李老师的高等数学课的学生考试成绩在90分以上，

60分～69分，60分以下的频率分别为：

62＋84390≈0.067，≈0.140，≈0.109. 645645645∴用以上信息可以估计出王小慧得分的概率情况：

(1)“得90分以上”记为事件A，则P(A)＝0.067. (2)“得60分～69分”记为事件B，则P(B)＝0.140. (3)得“60分以下”记为事件C，则P(C)＝0.109. 题组3

试验结果分析

9．从含有两个正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．

(1)写出这个试验的所有可能结果；

(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A对应的结果．

解：(1)试验所有结果：a1，a2；a1，b1；a2，b1；a2，a1；b1，a1；b1，a2.共6种．

(2)事件A对应的结果为：a1，b1；a2，b1；b1，a1；b1，a2. 10．指出下列试验的结果：

(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；

(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差．

解：(1)结果：红球，白球；红球，黑球；白球，黑球．

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(2)结果：1－3＝－2,3－1＝2,1－6＝－5,6－1＝5，

1－10＝－9,10－1＝9,3－6＝－3,6－3＝3，

3－10＝－7,10－3＝7,6－10＝－4,10－6＝4. 即试验的结果为：－2,2，－5,5，－9,9，－3,3，－7,7，－4，4. [能力提升综合练] 1．根据山东省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%，某眼镜商要到一中学给学生配镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为(

) A．374副

B．224.4副

C．不少于225副

D．不多于225副

解析：选C

根据概率相关知识，该校近视生人数约为600×37.4%＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副，选C. 2．某人将一枚硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的(

) 33A．概率为

B．频率为

55C．频率为6

D．概率接近0.6 1解析：选B

事件A＝{正面朝上}的概率为，因为试验的次数较少，所以事件的频率23为，与概率值相差太大，并不接近．故选B. 53．(2016·深圳调研)“一名同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是(

) A．不可能事件

B．必然事件

C．可能性较大的随机事件

D．可能性较小的随机事件

解析：选D

掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．

4．“连续掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的结果共有(

) A．6种

B．12种

C．24种

D．36种

解析：选D

试验的全部结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种．

5．(2016·济南检测)如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量多的是________．

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所以估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率为0.69. 1纤度小于1.40的频数是4＋25＋×30＝44，

244则纤度小于1.40的频率是＝0.44，

100所以估计纤度小于1.40的概率是0.44.

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