小结课堂实录【2】

含参二次函数的最值问题

教学目标

1.知识与能力：初步掌握解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法，总结归纳出二次函数在闭区间上最值的一般规律，会运用二次函数在闭区间上的图像研究相关问题。

2.过程与方法：通过实验，观察影响二次函数在闭区间上的最值的因素，在此基础上讨论探究出解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律。

3.情感、态度与价值观：通过探究，让学生体会分类讨论思想与数形结合思想在解决数学问题中的重要作用,培养学生分析问题、解决问题的能力，同时培养学生合作交流的能力。

教学重点与难点

重点：借助二次函数的单调性求解它在闭区间上的最值。

难点：利用数形结合和分类讨论的方法求解含参二次函数的最值。

教学方法

设置问题，引导并起发学生的求知欲，通过分组讨论、合作探究、学生展示、点评等多种方式让学生参与到课堂当中。

教学过程

（一）、引入

2已知函数f(x)= x

–2x–3,求f(x)的最值。

设置问题：1、要求最只需要知道什么？

2、最值在何处取得？

【设计意图】

复习旧知识并激发学生探索新知的欲望。

【学情预设】

可能部分学生忽视定义域。

（二）、讲授新课

2活动1、已知函数f(x)= x

–2x–3, （1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；

（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；

（3）若x∈[1,5]，求函数f(x)的最值；

22（4）若x∈[13,]，求函数f(x)的最值；

22提问：给定具体的定义域后，如何求最值？

1

∙∙∙∙∙∙4464x=12x=1242x=11252155101510151-2321-2532102x=1215510542222444

46主题分析每种情况对称轴和区间的关系，并确定最值。

提问：函数最值通常在哪里取到？

【设计意图】

在引入例题的基础上逐步增加难度，逐渐接近含参二次函数最值问题。

【学情预设】

学生可以想到要判断对称轴和区间之间的关系，并能在引导下说出最值在区间两端和对称轴处取得。

活动2、例1:

求函数y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]时的最值

提问：当区间变为不定的，如何解决？

引导学生按照上述例题方法求最大值。

当k+2≤1即k ≤-1时

f(x)max=f(k)=k2-2k-3

f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3=k2+2k-3

当

k ＜1 ＜

k+2

时

即-1 ＜k ＜1时

x=1

f(x)min=f(1)=- 4 kk+2

当f(k)>f(k+2)时，即k2-2k-3 > k2+2k-3

即-1

f(x)max=f(k)=k2-2k-3

x=1

x=1

当f(k) ≤f(k+2)时，即k2-2k-3 ≤

k2+2k-3 即0≤

k<1时

k

k+2

k

k+2

f(x)max=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3=k2+2k-3

x=1

当

k ≥1 时

k

k+2

f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3

f(x) min=f(k)=k2-2k-3

引领学生总结解决类似问题的步骤和方法，结合图形总结轴定区间动问题的具体思路。

设置练习：求函数f(x)=x2-4x-5在x∈[m,m+1]上的最值。

学生先自己解决问题，后小组讨论统一过程与答案。

【设计意图】

1、从普通二次函数求最值问题引入到含参数二次函数求最值问题。

2、让每一个学生体会从特殊到一般地过程，体会数形结合与分类讨论的应用。

【学情预设】

第一次解决此类问题，解题用的时间会比较长。

86668881010101042510152444628210510155101522446664828101051015246810

2

活动3、例2：若x∈x1x1，求函数y =x2+ax+3的最小值。

引导学生按照例1的方法，应用数形结合与分类讨论分情况。

当a<-2时

f(x)min=f(1)=4+a 当-2≤a<2时fminaa2f3

42当a≥2时

f(x)min=f(-1)=4-a 简单总结轴动区间定的问题解题思路，分析与轴定区间动问题的不同。

练习：若-2≤x≤2，求函数y =-x2+2ax+3的最大值。

【设计意图】

拓展轴动区间定的题型，与例一形成类比。

【学情预设】

学生在前边知识的基础上会很容易的理解和解决轴动区间定的问题。

（三）课堂小结

提问：1.含参数的二次函数最值问题分类：轴动区间定；轴定区间动。

2.

闭区间上的二次函数的最值问题求法

3.

核心问题：区间与对称轴的相对位置关系

4.

用到的数学方法：数形结合和分类讨论

【设计意图】

归纳总结二次函数问题在闭区间上最值的一般解法和规律,完成本节课知识的建构。使同学们再次体会数形结合与分类讨论的应用。

【学情预设】

学生在总结归纳中整理知识，深刻体会求解含参二次函数最值的方法和规律。

（四）课后作业

轴动区间动问题：求函数y=x2-2kx-3在x∈[k,k+2]时的最值。

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