平行线的性质综合应用第二课时教学实录

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平行线的性质

第1课时

平行线的性质

教学目标

一、基本目标

1．使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理．

2．使学生了解平行线的性质和判定的区别．

二、重难点目标

【教学重点】

理解平行线的三个性质．

【教学难点】

能运用平行线的性质进行推理证明．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P50～P51的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

如图，直线a与直线b平行．

(1)测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？图中还有其他的同位角吗？它们的大小有什么关系？

(2)图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？

(3)图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？

(4)换另一组平行线试试，你能得到相同的结论吗？

解：(1)经测量∠1＝∠5，图中还有同位角为：∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，经测量它们都相等．

(2)图中有2对内错角，它们都相等．

理由：因为∠1＝∠5(已知)，

∠1＝∠4(对顶角相等)，

所以∠4＝∠5(等量代换)．

同理，可知∠3＝∠6. (3)图中有2对同旁内角，它们都互补．

理由：因为∠1＝∠5(已知)，

∠1＋∠3＝180°(邻补角定义)，

所以∠5＋∠3＝180°(等量代换)．

同理可知∠4＋∠6＝180°. (4)能得到相同的结论．

归纳总结：(1)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等；

(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等；

(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】如图所示，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4. (1)∠1，∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？

(2)反射光线BC与EF也平行吗？

【互动探索】(引发学生思考)用观察法先判断角与角的数量关系，反射光线BC与EF的位置关系．

【解答】(1)因为AB∥DE，

所以∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．

(2)因为∠1＝∠2，

所以∠2＝∠3(等量代换)．

又因为∠3＝∠4(已知)，

所以∠2＝∠4(等量代换)，

所以BC∥EF(同位角相等，两直线平行)．

【例2】如图，AB∥CD，BE∥DF，∠B＝65°，求∠D的度数．

【互动探索】(引发学生思考)利用“两直线平行，内错角相等，同旁内角互补”的性质可求出结论．

【解答】因为AB∥CD，

所以∠BED＝∠B＝65°. 因为BE∥FD，所以∠BED＋∠D＝180°，

所以∠D＝180°－∠BED＝180°－65°＝115°. 【互动总结】(学生总结，老师点评)已知平行线求角度，应根据平行线的性质得出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．再结合已知条件进行转化．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是(

D

)

A．∠1＝∠2

C．∠1＋∠3＝180°

B．∠3＝∠4 D．∠3＋∠4＝180°

2．如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是(

C

)

A．44°

C．46°

B．45°

D．47°

3．如图，已知AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠CED的度数为60°.

4．如图，AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝105°，求∠D的度数．

解：因为AB∥CD，所以∠A＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．因为∠A＝105°，所以∠C＝180°－105°＝75°.又因为DE⊥AC，所以∠DEC＝90°，所以∠C＋∠D＝90°，所以∠D＝90°－75°＝15°. 活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】如图，DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，∠PAG＝12°，求∠ABD

的度数．

【互动探索】先利用GF∥CE，易求∠CAG，而∠PAG＝12°，可求得∠PAC＝48°.由AP是∠BAC的平分线，可求得∠BAP＝48°，从而可求得∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝48°＋12°＝60°，即可求得∠ABD的度数．

【解答】因为FG∥EC，

所以∠CAG＝∠ACE＝36°，

所以∠PAC＝∠CAG＋∠PAG＝36°＋12°＝48°. 因为AP平分∠BAC，

所以∠BAP＝∠PAC＝48°. 因为DB∥FG，

所以∠ABD＝∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝48°＋12°＝60°. 【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)利用平行线的性质可以得出角之间的相等或互补关系，利用角平分线的定义，可以得出角之间的倍分关系；(2)求角的度数，可把一个角转化为一个与它相等的角或转化为已知角的和差．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 两直线平行，同位角相等小或说明两直线平行，内错角相等

的性质角之间的两直线平行，同旁内角互补平行线数量关系求角的大练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时

平行线的性质与判定的综合运用

教学目标

一、基本目标

灵活运用平行线的性质与判定解决综合问题．

二、重难点目标

【教学重点】

进一步掌握平行线的性质，运用两条直线平行判断角相等或互补．

【教学难点】

能够根据平行线的性质与判定进行简单的推理与计算．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P52～P53的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．如图，直线a、b与直线c、d相交，若∠1＝∠2，∠3＝70°，则∠4的度数是(

D

)

A．35°

C．90°

B．70°

D．110°

2．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能判断a∥b的是(

D

)

A．∠1＝∠4 C．∠2＋∠3＝180°

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】如图：(1)若∠1＝∠2，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？

(2)若∠2＝∠M，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？

(3)若∠2＋∠3＝180°，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？

B．∠2＝∠4 D．∠3＋∠4＝180°

【互动探索】(引发学生思考)判断已知中的两角的位置关系(内错角、同位角、同旁内角)→根据已知两角的数量关系→确定相关直线的位置关系(平行)．

【解答】(1)因为∠1＝∠2，

所以BF∥CE(内错角相等，两直线平行)．

(2)因为∠2＝∠M，

所以BF∥AM(同位角相等，两直线平行)．

(3)因为∠2＋∠3＝180°，

所以AC∥DM(同旁内角互补，两直线平行)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)明确两角的位置关系，再用平行线的判定解答．

【例2】如图，AB∥CD，如果∠1＝∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由．

【互动探索】(引发学生思考)观察法：EF∥AB，结合已知条件∠1＝∠2→EF∥DC，结合AB∥CD→EF∥AB．

【解答】因为∠1＝∠2，

所以EF∥DC(内错角相等，两直线平行)．

又因为AB∥CD，

所以EF∥AB(平行于同一条直线的两直线平行)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)从此题可以归纳出平行线的传递性，若直线a、b、c满足a∥b，b∥c，则a∥c. 【例3】已知直线a∥b，直线c∥d，∠1＝110°，求∠2，∠3的度数．

【互动探索】(引发学生思考)a∥b，∠1＝110°→∠2＝110°，结合c∥d→∠3＝70°. 【解答】因为a∥b，且∠1＝110°(已知)，

所以∠2＝∠1＝110°. 因为c∥d，

所以∠1＋∠3＝180°，

所以∠3＝180°－∠1＝70°. 【互动总结】(学生总结，老师点评)初学者在解答这类题时，首先应分清已知是什么，目标是什么，其次结合图形分析，拟出叙述计划，最后写出推理过程．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．如图，∠A＝∠D，如果∠B＝20°，那么∠C为(

B

)

A．40°

C．60°

B．20°

D．70°

2．如图，已知∠1＝85°，∠2＝95°，∠4＝125°，则∠3的度数为(

D

)

A．95°

C．70°

B．85°

D．55°

3．一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝270度．

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例4】如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD之间的两点，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF. (1)判定∠BAE、∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由；

(2)求出∠AFD与∠AED之间的数量关系．

【互动探索】平行线中的拐点问题，通常需过拐点作平行线．

【解答】(1)∠AED＝∠BAE＋∠CDE.理由：过点E作EG∥AB．因为AB∥CD，所以AB∥EG∥CD，所以∠AEG＝∠BAE，∠DEG＝∠CDE.因为∠AED＝∠AEG＋∠DEG，所以∠AED＝∠BAE＋∠CDE.

(2)同(1)可得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF.因为∠BAF＝2∠EAF，∠33CDF＝2∠EDF，所以∠BAE＋∠CDE＝(∠BAF＋∠CDF)，所以∠AED＝∠AFD．

22【互动总结】(学生总结，老师点评)无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 平行线的判定同位角相等

内错角相等平行线的性质同旁内角互补练习设计

请完成本课时对应练习！