对顶角、余角和补角教学设计(教案)

第五章

相交线与平行线（教学设计）

5.1.1

相交线

一、学习目标

1.通过微视频的简单学习，从射线到角，到相交线、平行线，感受研究问题从简单到复杂的思考方式，从相交到到相交的特殊情况垂直，体会从一般到特殊的研究方法，建构出本章的框架结构，并积累研究几何图形从图形的位置关系和数量关系两方面来研究的思维模式. 2.在具体情境中，能对相交线形成的角进行分类，并且在角的大小改变的前提条件下，发现变化中的不变关系，即邻补角互补、对顶角相等的事实. 3.在变化中找出不变的关系，认识到推理论证的必要性，并会应用邻补角说明对顶角相等的性质，会用它进行简单推理和计算. 二、教学重点

研究几何基本图形的思路与方法，理解对顶角相等的性质及其应用. 三、教学难点

在对相交线形成的四个角根据位置特点进行分类过程中，帮助学生积累研究基本图形的思路与方法. 四、教学过程

（一）、情境导入

问题：在我们的生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，大家对它们也不陌生，（播放图片）请找出图片中的相交线、平行线，你能再找出一些身边的相交线、平行线的实例吗? 揭晓本章研究主题与本节课学习内容（板书课题）

（那在本章的学习过程中，我们将会学习哪些内容呢？首先我们来一起看一下微课视频）

（二）搭建本章知识结构：（观看微视频）

同学们，在上一章“几何初步”中，我们学***面图形——线，两条具有公共端点的射线相遇后，就形成了另一个基本的平面图形——角。角也可以看着是一条射线绕着它的端点旋转而形成的。

我们把角的两边反向延长，此时出现了两条相交直线，同时也得到了4个角；当其中一个角变成直角时，就是两直线相交的特殊情况——垂直。我们学习两条相交直线采用的是“从一般到特殊”的研究方法。两直线相交后形成的4个角我们可以从位置关系和数量关系对他们进行研究，我们将会发现图形中存在着“变化中的不变关系”。对特殊的相交关系——垂直，我们将从它的定义、性质、判定和应用进行学习。

在两条相交直线的基础上，我们再画一条直线，这时就出现了一条直线与两条直线分别相交，此时出现了8个角；当这8个角具备某些特殊数量关系后，平行线出现了，再次体会到“从一般到特殊”的研究方法。在对两直线与三条直线研究相交后形成的8个角的位置关系和数量关系的研究中，进一步学***行线的定义、探究平行线的性质、判定和应用。

以此类推，以后三角形、四边形的学习也会采用这种“从一般到特殊”的研究方法，体会“变化中的不变关系”，研究路径仍然是图形的定义、性质、判定和应用。

接下来，我们将学习最简单的两直线相交。

学生在看视频的过程中，老师跟着学生一起看，同时画出一个角在黑板上。

（通过这个视频，相信大家对我们本章将要学习的内容有了一个初步的了解，接下来，就让我们从最一般的相交线开始本章的学习。刚才在视频提到，把角的两边反向延长，也会出现了两条相交直线）（老师边说边画，为后面的反向延长埋下伏笔）。

（三）、新知探究

1. 观察剪刀剪纸的过程，引入两条相交直线所成的角学生观察、思考、回答问题

问题1：张开地剪刀给人以什么形象?（出示一把张开的剪刀）

张开的剪刀可看作两条相交直线。（教师可以指着刚才在黑板上画出图形）

在用剪刀剪纸的过程中，用力握紧把手引发了剪刀张角的变化，表演剪布过程，让学生仔细观察，提出问题

问题2：两个把手之间的的角发生了什么变化?剪刀刀刃张开的口又怎么变化? 学生观察、思考、回答,得出: 握紧把手时,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角相应变小. 如果改变用力方向,随着两个把手之间的角逐渐变大,剪刀刃之间的角也相应变大。

（如果把剪刀的构造看作两条相交的直线,以上就关系到两条相交直线所成的角的问题,本节课就将从这些角的位置关系和数量关系来研究相交线）2.认识邻补角，探索它的性质：

活动一：跟着老师一起来画两条任意相交的直线,观察并回答下列问题：

（1）在两条直线相交所得的这4个角中，任选两个进行配对，共能组成几对角? （2）根据不同的位置特点将这几对角进行分类，可以分成几类? 如何来分？

[来源

两直线相交

D所形成的角

配对

根据位置特点分类

A214O3B∠1 ∠2 ∠3 ∠4

∠1与∠2；∠1与∠3 ∠1与∠4；∠2与∠3 ∠2与∠4；∠3与∠4 （1）∠1与∠2；∠1与∠4 ∠2与∠3；∠3与∠4 （2）∠1与∠3；∠2与∠4 C学生思考并独立回答，如果学生回答不上，老师可以提示，

先观察第一排的角：∠1与∠2；∠1与∠4，∠2与∠3；∠3与∠4，每一对角之间有些什么共同的特点？老师还可以把这个图形进行分解（可以画，作为黑板的副板书，可以擦掉的，也可以用东西遮住图形的一部分）。

DD

O3ABO

1B4242A31O

ABO

CC

C

如果学生回答的过程中出现的相邻和相对，我们可以把相邻和相对同时拿出来。如果学生回答不出，老师引导学生观察以上的四个图，得出相邻的，就接着讲邻补角。对顶角在邻补角之后再引导学生从位置和数量上进行研究。在这里不要同小组交流，学生如果不知道，交流也得不出结论的，最好老师引导。（相邻的、相对的）

D

活动二：邻补角的概念及数量关系探究：

（1）问题：你能具体描述一下∠1与∠2的位置关系吗？

当学生直观地感知角有“相邻”关系时, 引导学生准确地表达,如:有公共顶点，有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线。

（2）问题：这类角在数量上有什么关系？你是如何得到？

答：从图中可以直接看出这样的两个角合起来是一个平角，所以它们的和为180°（互补）。

（3）问题：当我们改变两条相交直线的位置关系时（也就是改变∠1的大小）（再次出示剪刀或教具），在变化过程中，它们之间的这种关系是否仍然成立？

答：仍然成立

（4）引导学生概括形成邻补角的概念（P2，要求学生勾画）

有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线（互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角. （在我们了解了邻补角的概念之后，我们一起来看一看，下面各图中的∠1和∠2是否是邻补角？）

活动三：应用：邻补角的识别

1.判断∠1和∠2是否是邻补角？

120°

60°

2.在图中画出∠1的邻补角.

（很好，同学们都在图中画出来了∠1的邻补角，那∠1 和它的邻补角之间有什么数量关系呢？（同时板书∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，为推理对顶角相等作准备））

D3.对顶角的概念和数量关系探究：

活动一：认识对顶角：

23

ABO14（1）问题：再观察图中的∠1与∠3，你能具体描述一下它们的位置特点吗？（类比邻补角的位置特点进行描述）

C有一个公共顶点，两边互为反向延长线. （2）引导学生概括形成对顶角的概念（P2，要求学生勾画）

有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. （3）图中还有哪些角互为对顶角？

答：∠2与∠4

活动二：探究对顶角之间的数量关系：

（4）问题：∠1和∠3在数量上有什么关系？你是如何得到？ 答：相等。学生可能用观察、度量等。

师：再次演示教具，当∠1与∠3逐渐增大，∠2与∠4逐渐减小时，此时，还有∠1=∠3？∠2=∠4？（让学生体会变化中的不变关系，感受到证明的必要性。）

（5）问题：能不能用所学知识说明为什么对顶角相等?先独立思考写出推理过程，再交流.

（可以找学生板演，然后师生共同订正规范）

（6）对顶角的性质：

板书对顶角性质:对顶角相等。

（在我们了解了对顶角的概念和性质之后，我们一起再来看一看，下面各图中的∠1和∠2是否是对顶角？）

活动三：应用：对顶角的识别

1.判断∠1和∠2是否是对顶角？

2.在图中画出∠1的对顶角.

（很好，看来同学们都掌握了邻补角和对顶角的特征和性质，那就让老师再来考考你们吧）

（四）应用新知：

如图，直线a，b相交于点O，∠1= 40°，

求∠2，∠3，∠4的度数.

变式1: 若∠1+∠3= 80º，求各个角的度数。

变式2: 若∠1: ∠2 = 2: 7，求各个角的度数。

（四）、归纳小结 问题一：本节课你学习了什么知识?

位置关系

数量关系

邻补角

有一条公共边，另一边互为反向延长线

互补

对顶角

有一个公共顶点，两边互为反向延长线

相等

（我们研究几何问题主要就是从基本图形的位置关系和数量关系入手的，在以后三角形，四边形等的学习过程中也是如此）

问题二：本节课的学习运用到了哪些数学方法和思想? 1.

从一般到特殊的探究发方法；

2.

类比的思想方法；

问题三：你还有哪些困惑？

（五）、结束语：

同学们，本节课和大家一起学习让老师也收获颇多，最后我希望同学们能够“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，努力学好数学.

五、板书设计 5.1.1相交线

位置关系 数量关系

邻补角 1、有公共顶点 （学生板演）

2、有一条公共边 邻补角互补 3、另一边互为反向延长线 对顶角 1、有公共顶点 对顶角相等 2、两边互为反向延长线