单项式乘以多单项式PPT及专用教学设计内容

本讲教育信息】

一. 教学内容：

整式的乘法

二. 学习重难点：

整式的乘法的运算法则即应用是本节课的重难点

三. 知识要点讲解：

【知识回顾】

1、幂的运算法则：

①、同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

即：

（m、n为正整数）

②、幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即：

（m、n为正整数）

③、积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即：

（n为正整数）

④、同底数的幂相除，底数不变，指数相减。

（m>n，m、n为正整数）

2、乘法的运算律：

①、乘法的结合律：（a×b）×c=a×（b×c）

②、乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac

【新课讲解】

问题1、为支持北京申办2008年奥运会，一位画家设计了一幅长6000米、名为“奥运龙”的宣传画。受他的启发，京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画，如图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有x米的空白.

（1）第一幅画的画面面积是

__

_

_

米2；

（2）第二幅画的画面面积是

____

米2. 思考：式子x·（mx）

与

（mx）·（x－x－x）= （mx）·（x）如何计算呢？

探讨：x·（mx）

（mx）·（x）

= m·（x·x）——乘法交换律、结合律

= （m）（x·x）——乘法交换律、结合律

= mx2——同底数幂乘法运算性质

= mx2——同底数幂乘法运算性质

1、单项式乘以单项式法则：

单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式. 注：单项式乘以单项式，实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。

思考：你会计算3xy（x2y－2xy+y2），并说明每一步的理由. 解：3xy （x2y－2xy+y2）

= 3xy·（x2y）+3xy·（－2xy）+3xy·y2——乘法分配律

= 3x3y2－6x2y2+3xy3——单项式乘法的运算法则

2、单项式乘以多项式的运算法则

单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.

3、多项式乘以多项式

思考：①、用下面的四个矩形能拼成一个或多个矩形吗？

②、它们的面积之和是：________________________

A、C是甲同学的拼法，

B、D是乙同学的拼法：

③、甲同学的两个矩形的面积之和是：____________________ 乙同学的两个矩形的面积之和是：_____________________ 下面是丙同学的拼法，它的面积是：________________

思考：上面的各组图形的面积相等吗？__________，j 即：

法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 方法总结：在探究多项式乘以多项式时，是把某一个多项式看成一个整体，利用分配律进行计算，这里再一次说明了整体性思想在数学中的应用。

【典型例题】

应用1、单项式乘以单项式

例1、计算：

（1）（2xy2）·（xy）;

（2）（－2a2b3）·（－3a）;

（3）（4×105）·（5×104）; （4）（－3a2b3）2·（－a3b2）5;

（5）（－a2bc3）·（－c5）·（ab2c）. 解：（1）（2xy2）·（xy）

= （2×）·（x·x）（y2·y）

= x2 y3; （2）（－2a2b3）·（－3a）

=［（－2）·（－3）］（a2a）·b3=6a3b3; （3）（4×105）·（5×104）

= （4×5）·（105×104）=20×109=2×1010; （4）（－3a2b3）2·（－a3b2）5 =［（－3）2 ·

（a2）2

·（b3）2］·［（－1）5 ·

（a3）5 ·（b2）5］

=

（9a4b6）·（－a15b10）

= －9·（a4·a15）·（b6·b10）

= －9a19b16; （5）（－a2bc3）·（－c5）·（ab2c）

=［（－）×（－）×（）］·（a2·a）（b·b2）（c3·c5·c）

=a3b3c9 注意：①．积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误是，将系数相乘与指数相加混淆，如2a3·3a2=6a5，而不要认为是6a6或5a5. ②．相同字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法运算性质. ③．只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式. ④．单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用. ⑤．单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.

例2、一种电子计算机每秒可做4×109次运算，它工作5×102秒，可做多少次运算？

解：

（4×109）×（5×102）

= （4×5）×（109×102）

= 20×1011 = 2×1012（次）

答：工作5×102秒，可做2×1012次运算.

应用2、单项式乘以多项式

例3、计算：

（1）

2ab（5ab2+3a2b）;

（2）

（ab2－2ab）·ab; （3）

－6x（x－3y）;

（4）

－2a2（ab+b2）. 解：（1）

2ab（5ab2+3a2b）

= 2ab·（5ab2）+2ab·（3a2b）——乘法分配律

= 10a2b3+6a3b2——单项式与单项式相乘

（2）

（ab2－2ab）·ab = （ab2）·ab+（－2ab）·ab——乘法分配律

=a2b3－a2b2——单项式与单项式相乘

（3）

－6x（x－3y）

= （－6x）·x+（－6x）·（－3y）——乘法分配律

= －6x2+18xy——单项式与单项式相乘

（4）

－2a2（ab+b2）

= －2a2·（ab）+（－2a2）·b2——乘法分配律

= －a3b－2a2b2——单项式与单项式相乘

例4、计算：6mn2（2－mn4）+（－mn3）2. 分析：在混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项. 解：原式=6mn2×2+6mn2·（－mn4）+m2n6 =12mn2－2m2n6+m2n6 =12mn2－m2n6

例5、已知ab2=－6，求－ab（a2b5－ab3－b）的值. 分析：求－ab（a2b5－ab3－b）的值，根据题的已知条件需将ab2的值整体代入.因此需灵活运用幂的运算性质及单项式与多项式的乘法. 解：－ab（a2b5－ab3－b）

= （－ab）·（a2b5）+（－ab）（－ab3）+（－ab）（－b）

= －a3b6+a2b4+ab2 = （－ab2）3+（ab2）2+ab2 当ab2=－6时

原式=（－ab2）3+（ab2）2+ab2 =［－（－6）］3+（－6）2+（－6）

=216+36－6 =246

应用3、多项式乘以多项式

例6、计算：

（1）（1－x）（0.6－x）

（2）（2x+y）（x－y）

（3）（x－y）2

（4）（－2x+3）2

（5）（x+2）（y+3）－（x+1）（y－2）. 分析：在做题的过程中，要明白每一步算理.因此，不要求直接利用法则进行运算，而要利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘.

解：（1）（1－x）（0.6－x）

（2）（2x+y）（x－y）

=（0.6－x）－x（0.6－x）

=

2x（x－y）+y（x－y）

=0.6－x－0.6x+x2

=

2x2－2xy+xy－y2 =0.6－1.6x+x2

=

2x2－xy－y2 或

（1－x）（0.6－x）

或

（2x+y）（x－y）

=1×0.6－1×x－0.6x+x·x

=

2x·x－2x·y+xy－y2 =0.6－x－0.6x+x2

=

2x2－xy－y2 =0.6－1.6x+x2

（3）（x－y）2=（x－y）（x－y）

或（x－y）2=（x－y）（x－y）

=x（x－y）－y（x－y）

=x·x－x·y－x·y+y·y =x2－xy－xy+y2

=x2－2xy+y2 =x2－2xy+y2

（4）（－2x+3）2

（5）（x+2）（y+3）－（x+1）（y－2）

=

（－2x+3）（－2x+3）

= （xy+3x+2y+6）－（xy－2x+y－2）

= －2x（－2x+3）+3（－2x+3）

= xy+3x+2y+6－xy+2x－y+2 =

4x2－6x－6x+9

= 5x+y+8 =

4x2－12x+9 评注：（3）（4）题利用乘方运算的意义化成多项式与多项式的乘法运算. （5）整式的混合运算，一定要注意运算顺序. 练一练：计算：（1）（m+2n）（m－2n）;

（2）（2n+5）（n－3）;

（3）（x+2y）2

（4）（ax+b）（cx+d）.

解：（1）（m+2n）（m－2n）

（2）（2n+5）（n－3）

=m·m－m·2n+2n·m－2n·2n

= 2n·n－3·2n+5n－5×3 =m2－2mn+2mn－4n2

= 2n2－6n+5n－15 =m2－4n2

= 2n2－n－15 （3）（x+2y）2

（4）（ax+b）（cx+d）

= （x+2y）（x+2y）

= ax·cx+ax·d+b·cx+bd = x2+2xy+2xy+4y2

= acx2+adx+bcx+bd = x2+4xy+4y2

想一想：由计算得到27×23=621，发现积的末两位上的数21=7×3，前面的数6=2×（2+1）.换两个数84×86=7224同样具有这一特点，于是我们猜想：十位数字相同，个位数字之和为10的两位数的积是否也有这样的规律？

分析：根据题意，可以发现这样的两位数除了十位数字相同外，个位数字是补数，即个位数字的和是10.因此，我们设这样的两位数分别为10a+b和10a+c（a，b，c都是正整数，并且b+c=10）.根据多项式与多项式的乘法，通过对结果变形，就可说明. 解：设这样的两位数分别为10a+b和10a+c（a、b、c都是正整数，并且b+c=10）.根据多项式与多项式相乘的运算法则可知，这两个数的乘积为

（10a+b）（10a+c）

=100a2+10a（b+c）+bc =100a2+100a+bc =100a（a+1）+bc 结论：这个式子告诉我们：求十位数相同，个位数字之和等于10的两个两位数的积，可以用十位上的数a去乘比它大1的数（a+1），然后在乘积的后面添上两位数，在这两个数位上写上个位数字的乘积，所得的结果就是原来这两位数的乘积.

例7、计算：（1）32×38

（2）54×56

（3）73×77 解：（1）3×（3+1）=12，2×8=16

（2）5×（5+1）=30，4×6=24 ∴32×38=1216

∴

54×56=3024 （3）7×（7+1）=56，3×7=21 ∴

73×77=5621

应用4、综合应用

例8、规律探索题

（1）研究下列等式：

①、1×3+1=4=22; ②、2×4+1=9=32; ③、3×5+1=16=42; ④、4×6+1=25=52…

你发现有什么规律？根据你的发现，找出表示第n个等式的公式并证明. （2）计算下列各式，你能发现什么规律吗？

（x－1）（x+1）=

. （x－1）（x2+x+1）=

. （x－1）（x3+x2+x+1）=

. （x－1）（x4+x3+x2+x+1）=

. …

（x－1）（xn+xn－1+…+x+1）=

. 答案：（1）n（n+2）+1=（n+1）2，证明略

（2）x2－1，x3－1，x4－1，x5－1，…xn+1－1 （3）已知A=987654321×123456789，

B=987654322×123456788. 试比较A、B的大小.

分析：这么复杂的数字通过计算比较它们的大小，非常繁杂.我们观察就可发现A和B的因数是有关系的，如果借助于这种关系，用字母表示数的方法，会给解决问题带来方便. 解：设a=987654321，则a+1=987654322;

b=123456788，

b+1=123456789，则A=a（b+1）=ab+a;

B=（a+1）b=ab+b. 而根据假设可知a>b 所以A>B.

【课堂小结】

同学们，我们今天主要学习了整式的乘法，包括：单项式乘以单项式，单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，在探讨法则时，运用了整体思想，你学会了吗？

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一、相信你的选择！（每小题3分，共24分）

1. 下列各式计算正确的是【

】

（A）

（B）

（C）

（D）

*2. 若，则的值为【

】

（A）3

（B）4

（C）5

（D）6 *3. 若，则的值为【

】

（A）

（B）5

（C）

（D）2

4. 化简的结果是【

】

（A）

（B）

（C）

（D）

5. 如图是长10cm，宽6cm的长方形，在四个角剪去4个边长为cm的小正方形，按折痕做一个有底无盖的长方体盒子，这个盒子的容积是【

】

（A）

（B）

（C）

（D）

*6. 若，则的值为【

】

（A）36

（B）72

（C）108

（D）720 *7. 已知，那么的值是【

】

（A）

（B）

（C）

（D）

8. 将（1）中的梯形沿虚线剪开，拼成一个缺角的正方形，如图（2）所示.根据这两个图形的面积关系，下列式子成立的是【

】

（A）

（B）

（C）

（D）

二、试试你的身手！（每小题3分，共24分）

9. 若单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是

. 10. 已知，则

. 11. 若，则

. **12. 观察下列等式：，，，……

，则第个等式可以表示为

．

13. 一个多项式除以，商式为，余式为则这个多项式是

. *14. 已知展开后不含与的项，则

，

. *15. 数学家发明了一个魔术盒，当任意数对进入其中时，会得到一个新的数：.现将数对放入其中得到数，再将数对放入其中后，得到的数是

. 16. 已知1km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×108 km2煤所产生的能量，那么我国9.6×106km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤

千克.

三、挑战你的技能！（每小题10分，共40分）

*17. 计算：（1）

（2）

18. 先化简下面的代数式，再求值：

，其中.

19. 解方程组：

**20. 下面是小明和小红的一段对话：

小明说：“我发现，对于代数式，当和时，值居然是相等的.”

小红说：“不可能，对于不同的值，应该有不同的结果.”

在此问题中，你认为谁说的对呢？说明你的理由.

四、拓广探索，再接再厉！（共12分）

*21. 已知，，且的值与无关，求的值.