习题2.1课堂实录

指数函数的设计

指数函数及其性质

【读一读学习要求，目标更明确】

1．进一步熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2.会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及单调性、奇偶性判断与证明；3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小，解不等式．

【看一看学法指导，学习更灵活】

通过指数函数性质的应用，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．培养学生观察问题，分析问题的能力. 填一填知识要点

1．比较“同底数不同指数”幂(ax1与ax2)的大小

(1)构造相应指数函数f(x)＝___________________；

(2)根据底a的取值判断f(x)的单调性；

(3)根据f(x)的单调性比较ax1与ax2的大小．

2．关于形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质

(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有_________的定义域．

(2)函数y＝af(x)的值域的确定；可先确定函数y＝f(x)的__________，再由指数函数的值域、单调性确定．

(3)当a>1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性_______；当0

当a>b>0(a≠1且b≠1)时，对任意一个实数x0.什么时候ax0>bx0？什么时候ax0

由图象可知：当a>b>1时，x0∈(0，＋∞)，ax0>bx0；x0∈(－∞，0)，ax0b>0(a≠1且b≠1)始终有x0∈(0，

＋∞)，ax0>bx0；x0∈(－∞，0)，ax0

x0为正数时，不论底数大于1还是大于0小于1，底数大的指数函数对应的函数值大；当x0为负数时，底数大的指数函数对应的函数值小．因此对于几个不同的指数函数，当自变量为相同的数时，可以通过其函数值的大小比较底数的大小，即过与y轴平行的直线与指数函数图象的交点向y轴投影后，通过y轴的数值大小比较底数的大小．

课堂练习

例1

右图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d的大小关系是(

) A．a

在y轴的右侧作y轴的平行线，过四个交点向y轴投影，投影点在上面的底数大，于是得答案B. 小结

对于当自变量取同一值，比较指数函数底数大小的题目，只要记准函数①11y＝2x，②y＝3x，③y＝3x，④y＝2x的图象的位置，加以类比，即可得出答案．

跟踪训练1

比较下列各组中两个数的大小：

354(1)42.3和52.3；(2)0.6－2和45解

(1)52.3＝4－2.3；

∵2.3>－2.3，

55∴42.3>4－2.3，

54即42.3>52.3. 243.

(2)由指数函数的性质知0.6－2>1，

24333<1，∴0.6－2>243. 问题探究二

指数型函数的单调性

例2

设a是实数，f(x)＝a－2(x∈R)，试证明对于任意a，f(x)为增函数．

2x＋1证明

设x1，x2∈R，且x1

22ax1ax221－21

则f(x1)－f(x2)＝2＝2x1222x1x2x1x221－21＝2121. 2x1x1

且x10得2x2，即2x1－2x2<0，

2＋1>0, 2x2＋1>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为增函数．

小结

上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性．

跟踪训练2

设0 a2x2＋2x－3

解

∵0

又∵a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3，

∴2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，

解得x>1. 问题探究三

指数型函数在实际中的应用

例3

截止到1999年底，我们人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)? 解

设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，

1999年底，我国人口约为13亿；

经过2年(即2001年)人口数为13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)2亿；

经过3年(即2002年)人口数为13(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3亿；

……

经过x年人口数为13(1＋1%)x亿；则y＝13(1＋1%)x 答

经过20年后，我国人口数最多为16亿．

小结

类似上面此题，设原值为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后总量y＝N(1＋p)x，像y＝N(1＋p)x等形如y＝kax(k∈R，a>1且a≠1)的函数称为指数型函数．

练一练

当堂检测

112．若(2)2a＋1<(2)3－2a，则实数a的取值范围是(

) A．(1，＋∞)

C．(－∞，1)

1解析

∵函数y＝(2)x在R上为减函数，

1∴2a＋1>3－2a，∴a>2. 跟踪训练3

某市2000年国民生产总值为20亿元，计划在今后的10年内，平均每年增长8%，问2010年该市国民生产总值可达多少亿元(精确到0.01亿元)? 解

设该市国民生产总值在2000年后的第x年为y亿元，则：

第1年：y＝20＋20×8%＝20(1＋8%)＝20×1.08，

第2年：y＝20×1.08＋20×1.08×8%＝20×1.082，

1B．(2，＋∞) 1D．(－∞，2)

第10年：y＝20×1.0810≈43.18(亿元)．

答

2010年该市国民生产总值可达43.18亿元.