习题2.1教学设计及课堂实录

2.1.2

指数函数及其性质（三）（一）教学目标1．知识与技能：（1）熟练掌握指数函数概念、图象、性质；（2）掌握指数形式的函数定义域、值域的求法，以及单调性、奇偶性判断；（3）培养学生数学应用意识2．过程与方法：（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理；（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.3．情感、态度与价值观（1）

认识从特殊到一般的研究方法.（2）

了解数学在生产实际中的应用.（二）教学重点、难点1．教学重点：指数形式的函数图象、性质的应用.2．教学难点：判断单调性.（三）教学方法

启发学生运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复合函数的单调性进行证明，但应在变形这一关键步骤帮助学生总结、归纳有关指数形式的函数变形技巧，以利于下一步判断.（四）教学过程教学教学内容

师生互动

设计意图

环节

复习

回顾老师提问为学习新课作好了知识上的准备. 1.指数函数的定义、图象、性质.学生回答引入

2.函数的单调性、奇偶性的定义，及其判定方法.复合函数y=f［g（x）］是由函数u=g（x）和y=f（u）构成的，函数u=g3. 复合函数单调性的判定方法.（x）的值域应是函数y=f（u）的

定义域的子集.在复合函数y=f［g（x）］中，x是自变量，u是中间变量.当u=g（x）和y=f（u）在给定区间上增减性相同时，复合函数y=f［g（x）］是增函数；增减性相反时，y=f［g（x）］是减函数.

应用例1 当a＞1时，判断函数例1 师：你觉得应该如何去判断一个函掌握指数形式函数奇偶性的判断.

举例

ax1y=x是奇函数.a1数的奇偶性？

（生口答，师生共同归纳总结）

方法引导：判断一个函数奇偶性的一般方法和步骤是：

（1）求出定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若定义域关于原点不对称，则该函数是非奇非偶函数. （3）若所讨论的函数的定义域关于原点对称，进而讨论f（－x）和f（x）之间的关系. 若f（－x）=f（x），则函数f（x）是定义域上的偶函数；若f（－x）=－f（x），则函数f（x）是定义域上的奇函数；若f（－x）=f（x）且f（－x）=－f（x），则函数f（x）在定义域上既是奇函数又是偶函数. 师：请同学们根据以上方法和步骤，完成例题1.

（生完成引发的训练题，通过实物投影仪，交流各自的解答，并组织

掌握指数学生评析，师最后投影显示规范的解答过程，规范学生的解题）

证明：由ax－1≠0，得x≠0，

故函数定义域为{x|x≠0}，易判断其定义域关于原点对称. 又f（－x）

ax1(ax1)ax1ax=x==

a1(ax1)ax1ax=－f（x），

∴f（－x）=－f（x）. ax1∴函数y=x是奇函数. a1例2 求函数y=（区间，并证明之.1x22x）的单调2例2 师：证明函数单调性的方法是什么? 形式函数（生口答，师生共同归纳总结）

方法引导：（1）在区间D上任取x1单调性的判断. ＜x2.（2）作差判断f（x1）与f（x2）的大小：化成因式的乘积，从x1＜x2出发去判断.（3）下结论：如果f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在区间D上是增函数；如果f（x1）＞f（x2），则函数f（x）在区间D上是减函数. 解：在R上任取x1、x2，且x1＜x2，

则y2y112()x22x2=212()x12x12=（1）2

x12x122x22x1=（1(x2x1)(x2x12)）. 2∵x1＜x2，∴x2－x1＞0. 当x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，即y2＞1. y1∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增. 当x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即y2＜1. y1∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调递减.

综上，函数y在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减.

合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题. 解法二、（用复合函数的单调性）：

设：ux22x 1则：y

2对任意的1x1x2，有u1u2，

u1又∵y是减函数

2∴y1y2 ∴yu12x22x在

[1,)是减函数

课堂练习

1. 求函数y=3x和值域.

2对任意的x1x21，有u1u2，

1又∵y是减函数

2∴y1y2 ∴yu12x22x在

[1,)是增函数

小结：在讨论比较复杂的函数的单调性时，首先根据函数关系确定函数的定义域，进而分析研究函数解析式的结构特征，将其转化为两个或多个简单初等函数在相应区间上的单调性的讨论问题.在该问题中先确定内层函数（ux22x）1和外层函数（y）的单调2情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.

课堂练习答案

1.解：由题意可知，函数y=3x2x32u2x3的单调区间的定义域为实数R. 设u=－x2+2x+3（x∈R），

则f（u）=3u，

故原函数由u=－x2+2x+3与f（u）=3u复合而成. ∵f（u）=3u在R上是增函数，

而u=－x2+2x+3=－（x－1）2+4在x∈（－∞，1］上是增函数，在［1，

2. 设a是实数，

+∞）上是减函数. ∴y=f（x）在x∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数. 又知u≤4，此时x=1，

∴当x=1时，ymax=f（1）=81，而3x22x3＞0，

∴函数y=f（x）的值域为（0，81］.

2.分析：此题虽形式较为复杂，但f(x)a2(xR)

2x1应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解试证明对于任意a,f(x)为增函数；

答方法

（1）证明：设x1,x2∈R,且x1x2

则f(x1)f(x2)

(a22)(a)2x112x21

2(2x12x2)22x2212x1(2x11)(2x21)由于指数函数

y=2在R上是增函数,且x1x2, 所以2x12x2即2x12x2<0，

又由2>0得21+1>0, 22+1>0 所以xxxxf(x1)f(x2)<0即f(x1)f(x2)

因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为增函数

小结：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性

归纳

总结

1.复合函数单调性的讨论步骤和方法；

2.复合函数奇偶性的讨论步骤和方法.

课后

作业：2.1 第六课时

习案

作业

学生独立完成

巩固新知

提升能力

学生先自回顾反思，教师点评完善．

形成知识体系. 备选例题

例1已知a0且a1，讨论f(x)ax23x2的单调性.

【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，

指数x3x2(x)23221733，当x≥时是减函数，x≤时是增函数，

422而f(x)的单调性又与0a1和a1两种范围有关，应分类讨论. 【解析】设ux3x2

2317(x)2，

243则当x≥时，u是减函数，

23当x≤时，u是增函数，

2又当a1时，yau是增函数，

u当0a1时，ya是减函数，

所以当a1时，原函数f(x)ax数. 当0a1时，原函数f(x)ax数. 223x2在[,)上是减函数，在(,]上是增函32323x2在[,)上是增函数，在(,]上是减函3232

【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域.

2x2x例2已知函数

y 求函数的定义域、值域

2解：作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理. 654321-4-224

定义域为 R 2x2x由y得 22x2y2x10

2∵xR, ∴△0, 即

4y240, ∴y21, 又∵y0，∴y1

∴值域为{y|y1}.