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2．1.1

曲线与方程

学习目标

1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．

知识点一

曲线与方程的概念

思考1

设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？

(1){P|PA＝PB}(A，B是两个定点)；

(2){P|PO＝3 cm}(O为定点)．

思考2

到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？

梳理

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：

(1)________________都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是________上的点，

那么，这个方程叫做________________；这条曲线叫做________________．

知识点二

曲线的方程与方程的曲线解读

思考1

曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．

思考2

方程x－y＝0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x－y＝0呢？

梳理

(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．

(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了________________关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．

类型一

曲线与方程的概念理解与应用

命题角度1

曲线与方程的判定

例1

命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是(

) A．方程f(x，y)＝0的曲线是C

B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C

C．f(x，y)＝0是曲线C的方程

D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上

反思与感悟

解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．

判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．

跟踪训练1

设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是(

) A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上

B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0 C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上

D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0 命题角度2

曲线与方程的概念应用

例2

证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.

反思与感悟

解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．

跟踪训练2

写出方程(x＋y－1)x－1＝0表示的曲线．

类型二

曲线与方程关系的应用

例3

已知方程x2＋(y－1)2＝10. (1)判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；

m(2)若点M2，－m在此方程表示的曲线上，求m的值．

反思与感悟

判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．

跟踪训练3

若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．

1．曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为(

) A．f(x－3，y)＝0

C．f(y－3，x＋3)＝0

B．f(y＋3，x)＝0 D．f(y＋3，x－3)＝0 2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线(

) A．关于x轴对称

C．关于原点对称

B．关于y轴对称

D．关于直线x－y＝0对称

3．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形为________．

14．若曲线ax2＋by2＝4过点A(0，－2)，B(，3)，则a＝________，b＝________. 25．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．

1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．

2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1

(1)线段AB的垂直平分线；

(2)以O为圆心，3 cm为半径的圆．

思考2

y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．

梳理

(1)曲线上点的坐标

(2)曲线

曲线的方程

方程的曲线

知识点二

思考1

不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4. 思考2

方程x－y＝0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线．因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程x－y＝0的解．例如，点A(－2，－2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点．方程x－y＝0能够表示第一、三象限的角平分线．

梳理

(2)一一对应

题型探究

例1

B

[不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A、C、D错误．举例如下：曲线C：一、三象限角平分线，方程为|x|＝|y|，显然满足已知条件，但A、C、D错．]

跟踪训练1

D 例2

证明

①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．

因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，

即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．

②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，

则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k. 而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．

x－1≥0，跟踪训练2

解

由方程(x＋y－1)·x－1＝0可得或x－1＝0. x＋y－1＝0

即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，

∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)．

例3

解

(1)∵12＋(－2－1)2＝10，

(2)2＋(3－1)2＝6≠10，

∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(2，3)不在此曲线上．

mm，－m在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴2＋(－m－1)2＝10.解得m＝2(2)∵M2218或m＝－. 5跟踪训练3

解

∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，

∴a2＋a2＋2a＋k＝0. 11a＋2＋. ∴k＝－2a2－2a＝－22211－∞，. ∴k≤，∴k的取值范围是22当堂训练

1．D

2.C

3.两条相交直线

4.4

1 5．4个点