探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系板书设计及设计说明

反函数

一．教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用yf(x)与yf1(x)的性质解决一些问题．

二．教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系．

三．教学过程：

（一）主要知识：

1．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；

2．反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若yf(x)与yf1(x)互为反函数，

函数yf(x)的定义域为A、值域为B，则f[f1(x)]x(x，B)f1[f(x)]x(xA)；

3．互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于yx对称．

（二）主要方法：

1．求反函数的一般方法：（1）由yf(x)解出xf1(y)，（2）将xf1(y)中的x,y互换位置，得yf1(x)，（3）求yf(x)的值域得yf1(x)的定义域．

（三）例题分析：

例1．求下列函数的反函数：

2x1(0x1)（1）f(x)x2x(x1)；（2）f(x){2；（3）yx33x23x1．

x(1x0)解：（1）由yx2xx(1∴xy2(y0)，

)得y2(x)2(x1)，1124（2）当0x1时，得xy1(1y0)，当1x0时，得xy(0y1)，

12141214∴所求函数的反函数为yx2(x0)．

x1(1x0)x(0x1)∴所求函数的反函数为y{．

（3）由yx33x23x1得y(x1)32，∴x13y2(yR)，

∴所求反函数为f1(x)13x2(xR)．

1ax1(x,xR)的图象关于yx对称，求a的值． 1axa1ax11y1x(x,xR)得x(y1)，∴f1(x)(x1)，

解：由y1axaa(y1)a(x1)例2．函数y第二章

函数——第12课时，反函数

由题知：f(x)f1(x)，1x1ax，∴a1．

a(x1)1ax例3．若(2,1)既在f(x)mxn的图象上，又在它反函数图象上，求m,n的值．

解：∵(2,1)既在f(x)mxn的图象上，又在它反函数图象上，

mn2f(1)2m3∴，∴，∴．

f(2)1n72mn1例4．（《高考A计划》考点12“智能训练第5题”）设函数f(x)函数g(x)与yf1(x1)的图象关于yx对称，求g(2)的值．

12x，又1x12x1xx1y得x，∴f1(x)，f1(x1)，

1xx2x3y2xx∴g(x)与y互为反函数，由2，得g(2)2．

x3x3解法二：由yf1(x1)得xf(y)1，∴g(x)f(x)1，∴g(2)f(2)12．

解法一：由y

例5．已知函数yf(x)（定义域为A、值域为B）有反函数yf1(x)，则方程f(x)0有解

且f(x)x(xA)的充要条件是yf1(x)满足f1(x)x(xB)且f1(0)a．

xa，a2x1(aR)，例6．（《高考A计划》考点12“智能训练第15题”）已知f(x)x21是R上的奇函数．（1）求a的值，（2）求f(x)的反函数，（3）对任意的k(0,)1x解不等式f1(x)log2．

k0)，得a1，此时解：（1）由题知f(f(x)2x1f(xx)212x2x1x21x21x，

1x10122即f(x)为奇函数．

1x2x121y(1x1)．)1y（2）∵yx1x，得2x(1，∴f1(x)log2

1x21211y1x1xx1k1x1f(x)log（3）∵，∴1x，

k，∴2k1x11x1①当0k2时，原不等式的解集{x|1kx1}，

②当k2时，原不等式的解集{x|1x1}．

（四）巩固练习：

第二章

函数——第12课时，反函数

x21(0x1)51．设f(x){x，则f1()

．

42(1x0)2．设a0,a1，函数ylogax的反函数和ylog1x的反函数的图象关于

a（

）

(A)x轴对称

(B)y轴对称

(C)yx轴对称

(D)原点对称

y

y

y

y

（

）1

x

2

O

x

2

1

O

x

O

1

x

1

O

(A)

(B)

(C)

(D)

3．已知函数f(x)()x1，则f1(x)的图象只可能是

124．若yax6与yxb的图象关于直线yx对称，且点(b,a)在指数函数五．课后作业：《高考A计划》考点12，智能训练1，2，3，6，10，12，14．

13f(x)的图象上，则f(x)

．

第二章

函数——第12课时，反函数