小结教案2

§1.1

集

合

1.1.1

集合的含义与表示

第1课时

集合的含义

学习目标

1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题. 3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．

知识点一

集合的概念

元素与集合的概念

(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．

(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．

知识点二

元素与集合的关系

1思考

1是整数吗？是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？

21答案

1是整数；不是整数．没有．

2梳理

元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉. 知识点三

元素的三个特性

思考

某班所有的“帅哥”能否构成一个界限清楚的群体？某班身高高于175厘米的男生呢？

答案

某班所有的“帅哥”不能构成界限清楚的群体，因“帅哥”无明确的标准，难以判定该班某男生是否属于“帅哥”这一群体．高于175厘米的男生能构成一个界限清楚的群体，因为标准确定．

梳理

元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性．

知识点四

常用数集及表示符号

名称

符号

1．y＝x＋1上所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.(√) 2．0∈N但0∉N*.(√) 3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1∉A.(×) 自然数集

N

正整数集

N*或N＋

整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

类型一

判断给定的对象能否构成集合

例1

考察下列每组对象能否构成一个集合．

(1)不超过20的非负数；

(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；

(3)某班的所有高个子同学；

(4)3的近似值的全体．

考点

集合的概念

题点

集合的概念

解

(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；

(2)能构成集合；

(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；

(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．

反思与感悟

判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．

跟踪训练1

下列各组对象可以组成集合的是(

) A．数学必修1课本中所有的难题

B．小于8的所有素数

C．平面直角坐标系内第一象限的一些点

D．所有小的正数

考点

集合的概念

题点

集合的概念

答案

B 解析

A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．

类型二

元素与集合的关系

命题角度1

判定元素与集合的关系

例2

给出下列关系：

1①∈R；②2∉Q；③|－3|∉N；④|－3|∈Q；⑤0∉N，

2其中正确的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 考点

常用的数集及表示

题点

常用的数集及表示

答案

B 1解析

是实数，①对；2不是有理数，②对；

2|－3|＝3是自然数，③错；|－3|＝3是无理数，④错；

0是自然数，⑤错．故选B. 反思与感悟

要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．

跟踪训练2

用符号

“∈”或“∉”填空．

－2________R；－3________Q；

－1________N；π________Z. 考点

常用的数集及表示

题点

常用的数集及表示

答案

∈

∈

∉

∉

命题角度2

根据已知的元素与集合的关系推理

6例3

集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

3－x考点

元素与集合的关系

题点

伴随元素问题

答案

0,1,2 6解析

∵x∈N，∈N，∴0≤x≤2且x∈N. 3－x

66当x＝0时，＝＝2∈N；

3－x366当x＝1时，＝＝3∈N；

3－x3－166当x＝2时，＝＝6∈N. 3－x3－2∴A中元素为0,1,2. 反思与感悟

判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法

①使用前提：集合中的元素是直接给出的．

②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．

(2)推理法

①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．

②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．

跟踪训练3

已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A，2∈A，则(

) A．a>－4

C．－4

考点

元素与集合的关系

题点

由元素与集合的关系求参数的值

答案

D 解析

∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2. 又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4

元素的三个特性的应用

例4

已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x. (1)若－3∈A，求a的值；

(2)若x2∈B，求实数x的值；

(3)是否存在实数a，x，使A＝B. 考点

元素与集合的关系

题点

由元素与集合的关系求参数的值

解

(1)由－3∈A且a2＋1≥1，

可知a－3＝－3或2a－1＝－3，

当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1. 经检验，0与－1都符合要求．

∴a＝0或－1. B．a≤－2 D．－4

(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，

但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1. (3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，

只可能a－3＝0或2a－1＝0. 若a－3＝0，则a＝3，

A＝{a－3,2a－1，a2＋1} ＝{0,5,10}≠B. 1若2a－1＝0，则a＝，

2A＝{a－3,2a－1，a2＋1} 55＝0，－2，4≠B. 故不存在这样的实数a，x，使A＝B. 反思与感悟

元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．

元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．

跟踪训练4

已知集合M中含有三个元素：2，a，b，集合N中含有三个元素：2a,2，b2，且M＝N，求a，b的值．

考点

元素与集合的关系

题点

由元素与集合的关系求参数的值

解

方法一

根据集合中元素的互异性，

2a＝2a，a＝b，有或

2b＝bb＝2a，

a＝0，a＝0，解得或b＝1b＝0

a＝4，或1b＝2.1

a＝0，再根据集合中元素的互异性，得或b＝1

1b＝2.1a＝，4

方法二

∵两个集合相等，则其中的对应元素相同．

2a＋b＝2a＋b，∴

2a·b＝2a·b，

a＋bb－1＝0，

①即

ab·2b－1＝0，

②

∵集合中的元素互异，

∴a，b不能同时为零．

1当b≠0时，由②得a＝0或b＝. 2当a＝0时，由①得b＝1或b＝0(舍去)．

11当b＝时，由①得a＝. 24当b＝0时，a＝0(舍去)．

a＝0，∴b＝1

a＝4，或1b＝2.1

1．下列给出的对象中，能组成集合的是(

) A．一切很大的数

B．好心人

C．漂亮的小女孩

D．清华大学2018年入学的全体学生

考点

集合的概念

题点

集合的概念

答案

D 2．下面说法正确的是(

) A．所有在N中的元素都在N*中

B．所有不在N*中的数都在Z中

C．所有不在Q中的实数都在R中

D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中

考点

常用的数集及表示

题点

常用的数集及表示

答案

C 3．由“book”中的字母构成的集合中元素个数为________．

考点

集合中元素的特征

题点

集合中元素的个数

答案

3

4．下列结论不正确的是________．(填序号) 1①0∈N;

②∈Q;

③0∉Q;

④－1∈Z. 3考点

元素与集合的关系

题点

判断元素与集合的关系

答案

③

5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．

考点

元素与集合的关系

题点

由元素与集合的关系求参数的值

解

由元素互异性知m≠0，m2－3m＋2≠0.由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；

若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，

当m＝0时，与m≠0相矛盾，

当m＝3时，此时集合A中的元素为0,3,2，符合题意．

故实数m＝2.

1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．

2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A. 3．集合中元素的三个特性

(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．

(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．

一、选择题

1．已知集合A由x<1的数构成，则有(

) A．3∈A

B．1∈A

C．0∈A

D．－1∉A

考点

元素与集合的关系

题点

判断元素与集合的关系

答案

C 解析

很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．

2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则(

) A．0∈A

C．a∈A

考点

元素与集合的关系

题点

判断元素与集合的关系

答案

C 解析

∵A中只有一个元素a且a≠0，

∴0∉A，选项A错．

∵a为元素，A为集合，故B错误．

由已知选C. 3．下列结论中，不正确的是(

) A．若a∈N，则－a∉N

C．若a∈Q，则|a|∈Q

考点

元素与集合的关系

题点

判断元素与集合的关系

答案

A 解析

A不对．反例：0∈N，－0∈N. xy4．已知x，y为非零实数，代数式＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(

) |x||y|A．0∉M

C．－2∉M

考点

元素与集合的关系

题点

判断元素与集合的关系

答案

D xyxy解析

①当x，y为正数时，代数式＋的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式＋的|x||y||x||y|xy值为0；③当x，y均为负数时，代数式＋的值为－2，

|x||y|所以集合M中的元素共有3个：－2,0,2，故选D. 5．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(

) A．锐角三角形

C．钝角三角形

B．直角三角形

D．等腰三角形

B．1∈M

D．2∈M

B．若a∈Z，则a2∈Z

3D．若a∈R，则a∈R

B．a＝A

D．a∉A

考点

集合中元素的特征

题点

集合中参数的取值范围

答案

D 解析

由元素的互异性知a，b，c均不相等．

6．已知A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是(

) A．－1∉A

B．－11∈A

C．3k2－1∈A

D．－34∉A

考点

元素与集合的关系

题点

判断元素与集合的关系

答案

C 解析

令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A；

令3k－1＝－11，解得k＝－103∉Z，∴－11∉A；

∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A；

令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A. 7．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含(

A．2个元素

B．3个元素

C．4个元素

D．5个元素

考点

集合中元素的特征

题点

集合中元素的个数

答案

A 解析

由于|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，

并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．

8．由不超过5的实数组成集合A，a＝2＋3，则(

) A．a∈A

B．a2∈A

C.1a∉A

D．a＋1∉A

考点

元素与集合的关系

题点

判断元素与集合的关系

答案

A 解析

a＝2＋3<4＋4＝4<5，∴a∈A. a＋1<4＋4＋1＝5，∴a＋1∈A. a2＝(2)2＋22·3＋(3)2＝5＋26>5.∴a2∉A. )

3－211＝＝＝3－2<5. a2＋32＋33－21∴∈A. a故选A. 二、填空题

9．下列所给关系正确的个数是________．

①π∈R；②3D∈/Q；③0∈N*；④|－4|D∈/N*. 考点

常用的数集及表示

题点

常用的数集及表示

答案

2 解析

∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2. 10．如果有一集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．

考点

集合中元素的特征

题点

集合中参数的取值范围

1±5答案

x≠0,1,2，

21±5解析

由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，. 2b11．已知a，b∈R，集合A中含有a，，1三个元素，集合B中含有a2，a＋b,0三个元素，a若A＝B，则a＋b＝____. 考点

集合中元素的特征

题点

集合中参数的取值范围

答案

－1 解析

∵A＝B,0∈B，∴0∈A. b又a≠0，∴＝0，则b＝0.∴B＝{a，a2,0}．

a∵1∈B，a≠1，∴a2＝1，a＝－1或1(舍)．

由元素的互异性知，a＝－1，∴a＋b＝－1. 三、解答题

12．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．

考点

元素与集合的关系

题点

由元素与集合的关系求参数的值

解

由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

3∴a＝－1或a＝－. 2当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．

37当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，满足题意．

223∴实数a的值为－. 2113．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．

1－a(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；

(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；

(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．

考点

元素与集合的关系

题点

伴随元素问题

解

(1)2∈A，则1∈A，

1－2111即－1∈A，则∈A，即∈A，则∈A，

211＋11－21即2∈A，所以A中其他所有元素为－1，. 212(2)如：若3∈A，则A中其他所有元素为－，. 23a－11(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，，，且三个数的a1－a乘积为－1. 证明如下：

11若a∈A，a≠1，则有∈A且≠1，

1－a1－aa－1a－11所以又有＝∈A且≠1，

1aa1－1－a1进而有＝a∈A. a－11－a又因为a≠11(因为若a＝，则a2－a＋1＝0，

1－a1－a而方程a2－a＋1＝0无解)，

故a－11≠，所以A中只能有3个元素，

a1－a

它们分别是a，a－11，，且三个数的乘积为－1. a1－a四、探究与拓展

14．已知集合A中有3个元素a，b，c，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________．

考点

元素与集合的关系

题点

根据新定义求集合

答案

1,2 a＋b＝1，解析

由题意知b＋c＝2，c＋a＝3，

a＝1，解得b＝0，c＝2，

∴集合A＝{0,1,2}，则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．

15．已知集合A中的元素x均满足x＝m2－n2(m，n∈Z)，求证：(1)3∈A；

(2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A. 考点

元素与集合的关系

题点

判断元素与集合的关系

证明

(1)令m＝2∈Z，n＝1∈Z，

得x＝m2－n2＝4－1＝3，所以3∈A. (2)假设4k－2∈A，则存在m，n∈Z，

使4k－2＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)成立．

①当m，n同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，

所以(m＋n)(m－n)为4的倍数与4k－2不是4的倍数矛盾．

②当m，n一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，

所以(m＋n)(m－n)为奇数，与4k－2是偶数矛盾．

所以假设不成立．

综上，4k－2∉A.