信息技术应用 用计算机绘制函数图象优秀教学设计

1.4.1

正弦函数、余弦函数的图象

教学设计

一、教材分析

研究函数的性质常常以图象直观为基础,这点学生已经有些经验,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用.正弦函数、余弦函数的教学也是如此.先研究它们的图象,在此基础上再利用图象来研究它们的性质.显然,加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求.

由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就完全清楚了,因此,教科书把对周期性的研究放在了首位.另外,教科书通过“旁白”,指出研究三角函数性质“就是要研究这类函数具有的共同特点”,这是对数学思考方向的一种引导.

利用单位圆中的三角函数的概念画正弦函数图象是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数线义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图. 1．三维目标

（1）知识与技能

①通过实验演示，让学生经历图象画法的过程，了解利用正弦线画正弦函数图象的方法；②通过对图象的感知，形成正弦曲线的初步认识，进而探究画正弦曲线的方法，养成善于发现、善于研究的良好习惯；③掌握正、余弦函数的图象，知道它们之间的关系，学会用“五点法“画正、余弦函数的图象，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象；④学会遇到新问题时善于使用所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力．

（2）过程与方法

通过本节学习，理解正弦函数、余弦函数图象的画法．借助图象变换，了解函数之间的内在联系．体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象．

（3）情感、态度与价值观

通过本节的学习，让学生体会数学中的图形美，体验善于动手操作、合作探究的学习方法．渗透由抽象到具体的思想，加深数形结合思想的认识，使学生理解动与静的辨证关系，树立科学的辨证唯物主义观．

2．教学重点

正弦函数、余弦函数的图象．

3．教学难点

将单位圆中的角的大小及其正弦值转化正弦函数图象上的点；正弦函数与余弦函数图象间的关系，图象变换．

4．教学建议

利用单位圆中的三角函数的概念画正弦函数图象是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数线义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.

二、教学过程

新课问题式导入

问题1：由特殊角的三角函数值如sinπ

3 等引出一般情况下的正

弦函数概念y＝sinx

设置意图：有特殊到一般，有静态到动态。

问题2：怎样通过描点在直角坐标

系中作出正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象？如果可以，要描那些点呢？

设置意图：曾经画图方式基本上是列表描点联系，让学生重新回顾之前的方法并推广到正弦函数图象。

问题3．正弦函数概念是什么：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则有sinα＝y。

设置意图：认清列表中的点的横纵坐标分别是什么至关重要。

解决问题

利用几何画板动画展示正弦函数在一个周期上的图像，在展示过程中逐步解决疑问。

最终形成正弦函数的图像如图.

提出问题

如何画出余弦函数y=cosx,x∈R的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗?

活动:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础. 讨论结果:

把正弦函数y=sinx,x∈R 的图象向左平移2 个单位长度即可得到余弦函数图象.如图

正弦函数y=sinx,x∈R的图象和余弦函数y=cosx,x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点. 提出问题

问题①:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点? 问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗?

活动:对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下:

(0,0),(2 ,1),(π,0),( 2 3

,-1),(2π,0).

因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握.

对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在［0,2π］上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在［0,2π］上的图象. ②关键点也有五个,它们

是:(0,1),(2 ,0),(π,-1),( 2 3

,0),(2π,1) 应用示例

应用示例

例1 用“五点法”作出函数f(x)＝3sin

1 2 x－π

4的一段简图．

解:(1)按五个关键点列表:

12x－π

4

0

π

2

π

3 2

π

2π

x π2 32 π

52 π

72 π

9 2 π

f(x)

0

3

0

－3

0

描点并将它们用光滑的曲线连接起来.

变式：用“五点法”画函数y＝3sin2x＋π3的一段简图．

解:按五个关键点列表: 描点并将它们用光滑的曲线连接起来

A．0

B．1

C．2

D．

3 课堂小结

以提问的方式,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善. 1.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图象扩展到整个定义域的?

2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线?

这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.

作业

1.

金版1.4.1课时

2.

2.预习下一节:正弦函数、余弦函数的性质.