3.1.2 指数函数教案3

教

学

程

序

课题

§3.1.2指数函数

课型

新授型

教学目标教学重点1.使学生掌握指数函数的概念,图象和性质. (1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域. (2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质. 2. 通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法. 重点：指数函数的图象、性质。指数函数的图象性质与底数a的关系

难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质

教学具准备

一、导入

引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是y=2x

引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为

y0.85x

讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？

引出指数函数的概念：一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R. 二、新授

探究1：为什么要规定a>0,且a1呢？

①若a=0，则当x>0时，a=0；当x0时，a无意义.

②若a<0，则对于x的某些数值，可使a无意义. 如(2)，这时对于x=x11，x=，…等等，在实数范围内函数值不存在. 421

多媒体、尺规

教

学

过

程

教

师

活

动

学

生

活

动

xxx

③若a=1，则对于任何xR，a=1是一个常量，没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a1

x在规定以后，对于任何xR，a都有意义，且a>0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞). 探究2：函数y23x是指数函数吗？

指数函数的解析式y=a中，a的系数是1. 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=a+k (a>0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=axxxxxx (a>0,且111a1)，因为它可以化为y=，其中>0，且1 aaa

1、函数图象

x11xx在同一坐标系中分别作出函数y=2，y=，y=10，y=的图象. 210列表如下：

x

y=2

y=xxx…

-3 -2 …

0.0.213 5 …

8 x-1 -0.5 0 0.5 1 1.4 1 2 2 4 3 8 0.13 …

…

…

0.5 0.71 2 1.4 4 1

2

x

…

-1.5 -1 -0.5 x1 0.71 0.5 0.25 -0.25 0 0.25 0.5 1 3.16 0.32 1.5 …

…

y=10

y=…

0.03 0.1 …

31.62 0.32 0.56 1 1.78 1.78 1 0.56 10 31.62 0.1 1

10x10 3.16 0.03 …

2

11x我们观察y=2，y=，y=10，y=的图象特征，就可以得到210xxxyax(a0且a1)的图象和性质图象是形的特征,所以先从几何角度看它们有什么特征.教师可列一个表,如下:

然后总结：

图

象

a>1 0

3

性

质

(1)定义域：R （2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在 R上是增函数

（4）在R上是减函数

1说明：（1）由y2x,y()x2x图象的关系得出结论：

2函数yax与yax(a0,a1)的图象关于y轴对称

（也即yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称）；

（2）x轴为指数函数yax的“渐近线”：

（0a1时）随着x的增大，图象越来越趋向于x轴；

（a1时）随着x的减小，图象越来越趋向于x轴．

在第一象限，由下向上函数图象相应的底数由小变大

曲线

的图象,则

分别是指数函数

与1的大小关系是

,

和

例1比较下列各题中两个值的大小：

①1.72.5，1.7； ②0.830.1，0.80.2； ③1.70.3，0.93.1

解：利用函数单调性

①∵1.7>1，∴ 函数y=1.7在R是增函数，

又∵2.5<3，∴1.72.5x<1.7；

x3②

∵0<0.8<1，∴函数y=0.8在R是减函数，

又∵-0.1>-0.2，∴0.8③

1.70.30.1<0.800.2；

0.3>1.7=1；0.903.1<0.91；1.7>0.93.1

小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较. 例2．已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；

解：∵函数y=3x在R是增函数，3x≥30.5

4

∴x≥0.5

1即x[,)

2（1）

已知0.2x25，求实数x的取值范围；

11解：∵0.2x25

即()x<()2

551又∵

函数y=()x在R是减函数，

5∴x>2

即x(2,)

（2）

设232x(0.5)23x求实数x的取值范围．

解：∵232x(0.5)23x即232x23x2

又∵函数y=2x在R是增函数

∴32x<23x

∴x<1

即x(,1)

例3：解下列不等式：

(1)36xx11≥0

(2)34x26x>0

34x26x>036x36x22x1x1≥1≥304x>0632()x>046x2x1≥03x解：

(2x1)(3x1)≥0

2()<3

211x≤或x≥3x3()<232211x(,][,)x<123x(1,)

5 2

(3)(a2a2)x>(a2a2)1x

17a2a1(a)2>124x>1x

1x>21x(,)2（已知指数函数性质，求参数字母）

例4：1、函数yax11(a0,且a1)过一个定点，定点坐标为

. 练习：函数yaxmn(a0,且a1)恒过定点(2,4)则mn

2、函数y(a24)x在(,)上是单调递减，求a的值

练习：函数y(m22m)x，当x0时，y1，求m的取值范围

3、已知指数函数y2(a

例5：设yl＝a3x－121)x是定义域上的减函数，求a的取值范围

，y2＝ax2＋x－4（a＞0，a≠1），确定x为何值时有（1）y1＝y2；（2）y1＞y2．

思路：显然需对a进行分类讨论，分别解指数方程和指数不等式．

答案：（1）由题意得a3x－1＝ax2＋x－4，则3x－1＝x2＋x－4，解得x＝3或x＝－1．

6

（2）当a＞1时，a3x－1＞ax＋x－4，则3x－1＞x2＋x－4，解得－1＜x＜3；

22当0＜a＜1时，ax＋x－4＜a3或x＞3．

x－1，则3x－1＜x2＋x－4，解得x＜－1归纳：当a＞1时，af(x)>ag(x)f(x)>g(x)

当0＜a＜1时，af(x)>ag(x)f(x)

2、求函数定义域

1、y82x1 解：xR

2、y812x1 解：由2x10得，x11，∴xx|xR且x

2211，∴x[,)

5511114、y1()x

解：由1()x≥0得，()x≤()0，x≥0

，

2222∴x[0,)

3、y35x1 解：

由5x-1≥0得x≥x5、y162x2≥0得，6≤60，

2∴xx2≤0，∴-2≤x≤1∴x[2,1]

解：由16x2x2x2x26、已知函数f(x)的定义域为（1，2），求函数f(2x)的定义域

x0x1

解：由已知得：1<2<2，2<2<2，∴0

∴f(2)的定义域为(0,1)

x3、求函数值域

11xxR>0，∴y(0,)

2>0

解：∵，∴，2x2x1xu2、y2

解：∵xR，令u1x（x内函数），则y2（u外函数），∴uR，∴y(0,)

1、y3、y21x1x

解：x(,1)(1,)，令u1xu，则y2

1x

u(1x)221，∴uR,u1，

1x1x11∴y(0,)(,)注：内函数定义域即为外函数定义域

227

4、y()

解：∵xR，令u|x|，则y()，∵xR，∴u≥0，

方法一（图象）

∴y(0,1]

方法二

（单调性）

∴0<()≤()1，∴y(0,1]

5、y()12x12u12u1201x22x11,x[0,3]

解：令ux22x1，则y()u，

22∵u(x1)22,x[0,3]

121u121∴u[2,2]，∴()≤()≤()，∴y[,4]

22246、y2x1

解：由2x1≥0，令u2x1，则yu，

∴u≥0，∴u≥0，∴y[0,)

2x1

解：xR，令u2x1，则yu，∴u≥1，

∴u≥1，∴y[1,)

18、yx

211xx解：方法一

由210，x0，令u21，则y，

uxxxx∵2>0,且21，∴21>1且210，即u>1且u0

11即10，1>或>0，∴y(,1)(0,)

uu1方法二

由2x10，x0

，∵yx，

21∴y(2x1)1y2xy1，y2xy1，

y1∴2x，

yy1>0，

∵2x>0，∴y∴y(y1)>0，y<1,或y>0

∴

y(,1)(0,)

7、y例：1、已知函数ya(a0,且a1)在区间[–1，1]上最大值与最x小值差是1，求a

8

2、已知函数yax(a0,且a1)在区间[–2，1]上最大值与最小值之和为12，求a

4、求函数单调性：

11、求函数y2x22x的单调区间，并证明…………比值

12x1(x2x1)(x2x12)2x12x22x1y2211解：设x1x2，则

2x12x1y11222 ∵x1x2 ∴x2x10

当x1,x2,1时，x1x220 这时(x2x1)(x2x12)0

y 即

21 ∴y2y1，函数单调递增

y1 当x1,x21,时，x1x220 这时(x2x1)(x2x12)0

y 即

21 ∴y2y1，函数单调递减

y1 ∴函数y在,1上单调递增，在1,上单调递减

2x22x2解法二、（用复合函数的单调性）：

1设：ux22x 则：y

21对任意的1x1x2，有u1u2，又∵y是减函数

2∴()1()2 ∴yuu12u12u12x22x在[1,)是减函数

9

1对任意的x1x2≤1，有u1u2，又∵y是减函数

2∴()1()2 ∴y引申：求函数y

u12u12u12x22x在[1,)是增函数

12x22x的值域

（0y≤2）

1练习：1、y()2

x2x2

2、y2x

1x2－2x－1(2、对于函数y＝)，（1）求函数的定义域，值域；

（2）确定函3数的单调区间．

解析：函数y＝()“复合”而成．

（1）由u＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，当xR时，u≥－2，此时函数y＝()总有意义，∴定义域为R；

又由u≥－2，∴0＜()≤9，∴原函数的值域为（0，9］．

（2）∵函数u＝x2－2x－1在［1，＋）上递增，

∴对于任意的1≤x1＜x2都有u1＜u2，

13x2－2x－1可以看成是由函数u＝x2－2x－1与函数y＝()13u13u13u1u2，即y1＞y2．

31x2－2x－1∴函数y＝()在［1，＋］上递减．

31x2－2x－1同理可得函数y＝()在（－，1）上递增．

3∴()＞()u113

10

3、设a是实数，f(x)a2(xR) 试证明对于任意a,f(x)为x21增函数；

分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法

（1）证明：设x1,x2∈R,且x1x2

f(x1)f(x2)(a则22)(a2x112x21)x1x2222(22)2x212x11(2x11)(2x21)x

由于指数函数

y=2在R上是增函数,且x1x2, 所以2x12x2即2x12x2<0，

xxx又由2>0得21+1>0, 22+1>0 所以f(x1)f(x2)<0即f(x1)f(x2)

因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为增函数

a·2x－1－a4、若函数y＝为奇函数，

x2－1（1）确定a的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域；（4）讨论函数的单调性．

1a·2x－1－aa－解析：先将函数化简为y＝．

xx2－12－1（1）由奇函数的定义，可得f（－x）＋f（x）＝0，

1111－2x即a－－x＋a－x＝0，∴2a＋＝0，∴a＝－．

22－12－11－2x11x－x，∴2－1≠0．

22－111∴函数y＝－－x定义域为{x|x≠0}．

22－1（2）∵y＝－

11

（3）法一：（逐步求解法）∵x≠0，∴2－1＞－1．

∵2－1≠0，∴0＞2－1＞－1或2－1＞0．

xxxx111111－x＞，－－x＜－，

22－1222－1211即函数的值域{y|y＞或y＜－}．

22∴－1111x2．

法二：（利用有界性）由y＝－－x≠－，可得2＝122－12y＋21y－x2＞0．可得y＞1或y＜－1，

∵2＞0，∴122y＋211即函数的值域{y|y＞或y＜－}．

22（4）当x＞0时，设0＜x1＜x2，

11112x1－2x2则y1－y2＝x－x＝x－x＝x．

x1211122－12－12－12－1(2－1)(2－1)xx∵0＜x1＜x2，∴1＜21＜22．

xxxx∴21－22＜0，21－1＜0，22－1＜0．

11∴y1－y2＜0，因此y＝－－x在（0，＋）上递增．

22－111同样可以得出y＝－－x在（－，0）上递增．

22－1y－

5、求最值

1、

若11x≤（）≤1，求函数y4x2x15的最值

4211x11x1（）≤1，∴()2≤（）≤，∴0≤x≤2

解：∵≤42222

y42xxx15(2x)222x5

2

令t2（0≤x≤2）则yt2t5

2

∵0≤x≤2，∴2≤2≤2，即1≤t≤4，∴y(t1)4

x

当t1时，即21，即x0时，ymin4

0x2

12

x当t4时，即24，即x2时，ymin13

1（a＞0且a≠1）在［－1，1］上有最大值2、如果函数y＝a＋2a－14，试求a的值．

解析：设t＝a，则原函数可化为y＝（t＋1）2－2，对称轴为t＝－1．

1）若a＞1，∵x［－1，1］，∴－1＜

∵t＝a在［－1，1］上递增，

∴y＝（t＋1）2－2当t［xx2xx1≤t≤a．

a1，a］时也递增，

a

∴原函数在［－1，1］上递增．

故当x＝1时，ymax＝a2＋2a－1．

由a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5（舍，∵a＞1）．

2）若1＞a＞0，可得当x＝－1时，ymax＝a2＋2a1－1＝14，解得a＝－－13或a＝－11（舍）．综上，a＝或3．

53三、巩固：

1、求下列函数的定义域，值域：

（1）y＝21x－1；

（2）y＝5x2x－1；

x

（3）y＝()122x－x2；

（4）y＝9＋2×3－1．

1解

1）要使函数有意义，则x－1≠0，∴x≠1．∴函数定义域为{x|x≠1}；1∵x≠1，≠0，∴2x－1≠1，∴函数值域为{y|y＞0，且y≠1}．

x－112）∵2x－1≥0，∴函数定义域为{x|x≥}；

2∵2x－1≥0，∴2x－≥1．∴函数值域为{y|y≥1}．

1≥0，∴y＝53）函数定义域为R；∵2x－x2＝－（x－1）2＋1≤1，

2x－111．∴函数值域为{y|y≥}．

22x4）函数定义域为R；令t＝3，则t＞0，y＝t2＋2t－1＝（t＋1）2－2，

其对称轴为t＝－1．

∵t＞0，函数y＝（t＋1）2－2单调递增，

∴y＝()2x－x212≥

13

∴y＝（t＋1）2－2＞1－2＝－1．∴函数值域为{y|y＞－1}．

ax－12、已知函数f（x）＝x（a＞1）。

a＋1（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求出函数的值域；

（3）证明函数f（x）是（－，＋）上的增函数．

答案：（1）奇函数；

2ax－1（2）f（x）＝x＝1－x，逐步求解得值域（－1，1）；

a＋1a＋1（3）用增函数定义证明，过程略

3、设f（x）是定义域为xR且x≠0上的奇函数，则当x＞0时，f（x）xx．（1）写出x＜0时f（x）的解析式；（2）解不等式f（x）＜－．

31－2x2x解析：（1）x＜0时，f（x）＝x·x；

2－1xx（2）x＞0时，由f（x）＝＜一，解得0＜x＜2；

x31－2x2xx＜0时，由f（x）＝x·x＜一，解得x＜－2．

32－12x答案：（1）x·x；（2）x(,2)(0,2)．

2－1＝四、总结：

1．理解指数函数的含义，能画出指数函数的图象，借助图象理解指数函数的性质；

2．能利用指数函数的单调性，比较两个指数式值的大小；

3．与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题．

教

学

反

思

14