3.4.1 函数与方程教案设计（一等奖）

函数的零点

江阴市华士高级中学

赵华

教学目标：1．理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，在此基础上，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题；理解零点存在性定理，并能初步确定具体函数存在零点的区间；

2．能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系；

3．正确理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点只能不止一个；

4．在学习过程中，体验函数与方程思想及数形结合思想. 教学重点：方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理. 教学难点：通过数形结合的思想方法，实现函数问题与方程问题的相互转化. 教学过程：

一．问题情境

假设跳水运动员距离水面的高度y与时间t之间的函数关系式为y5x25x10，则运动员从起跳到入水共需多少时间？

画出函数图象，观察图象与x轴交点的坐标与方程5x25x100的根的关系. 引出本节课题。

二．建构数学

1．

函数的零点：使函数yf(x)的值为0的实数. 等价叙述：（1）方程f(x)0的实数根（——数的角度）；

（2）函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标（——形的角度）. 2．二次函数yax2bxc(a0)的零点、二次函数yax2bxc(a0)的图象与二次方程ax2bxc0(a0)的实数根之间的关系图表. 3．零点存在性定理：一般地，若函数yf(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上有零点. 三．例题讲解

热身训练：根据图象，说出函数的零点.

y

o12x

例1．证明函数yx22x3有两个不同的零点

提问：从数的角度看，能否换种叙述方式？

即证：方程x22x30有两个不等实根. 412160证明：方程x22x30有两个不等实根

函数yx22x3有两个不相同的零点提问：若从形的角度看，题目又可以怎么叙述？

即证：函数yx22x3的图象与x轴有两个不同的交点. 证明：函数图象为开口向上，顶点在x轴下方的抛物线，必与x轴有两个不同的交点. 变式：请学生举例，有一个零点和没有零点的二次函数. 例2：判断函数f(x)x22x1在区间(2,3)上是否存在零点. 分析：数的角度，即判断方程x22x10在区间(2,3)上是否有实数根；形的角度，即判断函数图象在区间(2,3)内是否与x轴有交点. 法一：求出方程的两根分别为12和12，发现12(2,3)，所以函数在区间(2,3)上存在零点.. 法二：因为f(2)10，f(3)20，而二次函数f(x)x22x1在区间2,3上是不间断的，这表明函数图象在区间(2,3)上一定穿过x轴，即函数f(x)x22x1在区间(2,3)上存在零点. 综合上面的分析，我们能不能得出一个关于函数有零点的更一般的结论呢？

f(a)0f(a)0左图

且图象在a,b不间断

右图且图象在a,b不间断

f(b)0f(b)0能不能把两种情况统一起来？

f(a)f(b)0且图象是不间断的，则函数yf(x)在区间(a,b)上存在零点. 例3．判断下列函数在给定区间上是否存在零点：

（1）f(x)x33x1在区间(0,1)上

（2）f(x)lgxx3在区间(2,3)上

（3）f(x)2x3x2在区间(1,2)上

变式：将（3）中的区间改为R，思考函数是否存在零点；若存在，则大概在哪个区间当中？（可留给学生课后思考解决）. 四．课堂小结

这节课你学到了哪些知识？体会了哪些数学思想方法？

学习零点的意义何在？（教师总结）