2.2.1 函数的单调性国家获奖教案

函数的单调性

【教学目标】 1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． 2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 【教学重点】

函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】

归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】

教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】

计算机、投影仪． 【教学过程】

[情境导学] 函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降．很多函数也具有类似性质，这就是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性．

探究点一

增函数、减函数、单调性、单调区间

思考1 如图，气温θ关于时间t的函数，记为θ＝f(t)，观察这个函数的图象，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是降低的？

答

在[0,4]及[14,24]上，随时间的增大气温逐渐降低，在[4,14]上随时间的增大气温逐渐升高．

思考2 对于任意的t1、t2∈[4,14]时，当t1

答

在给定区间上任取x1，x2且x1

小结

增函数与增区间：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1

思考3 类比单调增函数的概念，你能给出单调减函数的概念吗？

答

如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，区间I称为y＝f(x)的单调减区间．

例1 画出下列函数的图象，并写出单调区间：

(1)y＝－x2＋2；(2)y＝x(x≠0)．

解 (1)函数图象如图(1)，从图中看出函数y＝－x2＋2的增区间为(－∞，0]，减区间为[0，＋∞)．

(2)函数图象如图(2)，从图中看出函数y＝x的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．

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反思与感悟

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，不能用“∪”；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．

跟踪训练1 根据下图说出函数在每一个单调区间上是增函数还是减函数？

解

函数在[－1,0]上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．

探究点二

增函数、减函数的证明或判断

思考

判断函数单调性的方法有哪些？

答

有定义法，图象法．

例2 求证：函数f(x)＝－x－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．

证明

设x1、x2∈(－∞，0)内的任意两个值，且x1

则x1－x2<0，x1x2>0. 因为f(x1)－f(x2)＝(－x1－1)－(－x2－1) ＝x2－x1＝x1x2，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

故f(x)＝－x－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．

反思与感悟

运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且在x1

跟踪训练2 试讨论函数f(x)＝x2＋1的单调性．

解

f(x)的定义域为R，在定义域内任取x1

有f(x1)－f(x2)＝＋1－＋1＝＋1，其中x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0. ①当x1，x2∈(－1,1)，即|x1|<1，|x2|<1时，∴|x1x2|<1，

则x1x2<1,1－x1x2>0，f(x1)－f(x2)<0，f(x1)

②当x1，x2∈(－∞，－1]或[1，＋∞)时，1－x1x2<0，

22222x111x1－x2111f(x1)>f(x2)，∴f(x)为减函数．

综上所述，f(x)在[－1,1]上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．

探究点三

函数单调性的应用

思考1 如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？

答

先判断函数f(x)在区间D上的单调性，如果函数f(x)在D上是增函数，当x1

思考2 已知函数的单调性，能利用函数值的大小关系得出对应自变量的大小关系吗？

答

能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱

去f符号，转化为自变量的大小关系．

例3 已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意的正数d，都有f(x＋d)

解

令x1＝x＋d，x2＝x，

∵d>0，∴x1>x2，由f(x＋d)

所以y＝f(x)在定义域R上是减函数．

∵f(1－a)2a－1，即a<3. 所以a的取值范围为(－∞，3)．

反思与感悟

如果由函数y＝f(x)在区间M上的任意两个数x1

跟踪训练3 已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，判断f(a2－a＋1)与f(4)的大小关系．

解

由于a2－a＋1＝(a－2)2＋4≥4，又因函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，

所以f(a2－a＋1)≤f(4)．

31333

1．若f(x)在R上是增函数，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)______f(－a)＋f(－b)．(填“<”、“>”或“＝”) 答案 > 2．函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且过点(－3,2)和(1，－2)，则|f(x)|<2的自变量x的取值范围是________．

答案 (－3,1) 3．若函数f(x)在实数集R上是增函数，且f(x)＞f(1－x)，则x的取值范围是________．

答案 {x|x＞2} 1

4．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

解

y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]．

其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．

[呈重点、现规律] 1．若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减．

2．对增函数的判断，当x10或x1－x2>0来代替．对减函数的判断，当x1f(x2)，相应地也可用不等式：(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0或x1－x2f(x1－f(x2<0来代替．

3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．

4．若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则有下列结论：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增．②－f(x)单调递减，③f(x单调递减(f(x)≠0)．

5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商f(x2与1比较．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结． 1．小结 (1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性． (2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论． (3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业

书面作业：课本第60页

习题2.3 第4，5，6题．

f(x11