2.2.1 函数的单调性教学设计(第一课时)

2.2

函数的单调性（1）

教学目标：

1．在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上，逐步理解函数的单调性，并能结合图形，认识函数的单调性及其几何意义；

2．通过函数的单调性的教学，渗透数形结合的数学思想；

3．理解运用从特殊到一般，由具体到抽象，提升学生数学思维能力。

教学重点：

用图象直观地认识函数的单调性，并利用函数的单调性求函数的值域．

教学难点：

形成增（减）函数的形式化定义过程中，如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言描述，用定义证明函数的单调性。

教学过程：

一、问题情境

如图是气温关于时间t的函数，记为＝f (t)，观察这个函数的图象，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是下降的？

问题：怎样用数学语言刻画上述时间段内“随时间的增大气温逐渐升高”这一特征？

二、学生活动

y y＝f2(x)

y y＝g2(x)

O x O x y y＝f1(x)

y y＝g1(x)

10 8 6 4 2 －2 /℃

2 4 14 24 t/h

O x O x

1.观察第一第二幅图，用数学语言表述函数上升的趋势

图象在区间I内呈上升趋势

当x的值增大时，函数值y也增大

区间内有两个点x1、x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)

问题：若区间内有两点x1x2时，有f(x1)f(x2)，能否推出f(x)是单调递增函数？

动画演示反例，由学生得出应为“任意的”。

给出严格的数学语言（见PPT）；

建议：只强调单调递增函数的关键词：同一区间、任意性、有大小等,鼓励学生自己得出单减函数的定义。

同时让学生自主学习单调性和单调区间的概念。

强调：函数单调性相对于定义域而言可以是局部性质。

2.观察第三第四幅图，类比前面归纳出单调减函数的定义。

三、数学建构

1．增函数与减函数：

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA．

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I是单调增函数，区间I称为y＝f(x)的单调增区间．

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I是单调减函数，区间I称为y＝f(x)的单调减区间．

2．函数的单调性与单调区间：如果函数y＝f(x)在区间I是单调增函数或单

函数。调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．

单调增区间与单调减区间统称为单调区间．

注：一般所说的函数的单调性，就是要指出函数的单调区间，并说明在区间上是单调增函数还是单调减函数．

四、数学运用

例1

画出下列函数的图象，结合图象说出函数的单调性．

1．y＝x2＋2x－1 22．y＝x

1例2

求证：函数f(x)＝－x－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．

【注】：作差法的引入及论证技巧。：

(1)判定单调性的方法？

(2)如何利用定义判定单调性？

(3)如何比较f(x1)、f(x2)大小？！

鼓励学生自己写出过程；教师统一步骤：取值、作差、定号、下结论。

思考：在证明中,你对“任意性”的意义有何认识？

解答：有了“任意性”，在区间内不管取哪两个值，其证明过程和结论都是一样的！

练习：说出下列函数的单调性并证明．

1．y＝－x2＋2

五、回顾小结

利用图形，感知函数的单调性→给出单调性的严格意义上的定义→证明一个函数的单调性．

六、作业

22．y＝x＋1