习题1.2教学设计实例

1．2.1

函数的概念

学习目标

1.理解函数的概念；2.了解构成函数的三要素；3.正确使用函数、区间符号．

知识点一

函数的概念

思考1

初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图象？

答案

因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应来定义的函数概念．

函数的概念：

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，值域是集合B的子集．

思考2

用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图象(0,1)自然是函数图象．试用新定义判断下列对应是不是函数？

(1)f：求周长；A＝{三角形}，B＝R；

(2)

x y ；

(3) x y ；

(4)

x y ；

(5)

x y . 1

1

2

2

3

1

1

1

2

1 3 1

1

2

1

3 1 1

3

2

2

3 1

答案

(1)不是，因为集合A不是数集．

(2)是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．

(3)是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．

(4)不是．一个x＝1，对应了三个不同的y，违反了“唯一确定”．

(5)不是．x＝3没有相应的y与之对应．

知识点二

函数相等

思考

函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？

答案

两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．

一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．

知识点三

区间

思考1

填写下表中不等式、区间和数轴的对应关系：

集合

区间

数轴

R

{x|x≥a}

{x|x>a}

{x|x≤a}

{x|x

{x|a≤x

答案

(－∞，＋∞)

[a，＋∞)

(a，＋∞)

(－∞，a]

(－∞，a)

[a，b)

思考2

若集合A＝{x|a

若已知区间(a,2a)，则实数a的取值范围是________．

答案

a≤0

a>0

类型一

函数的概念

例1

判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．

(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；

(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；

(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；

(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0. 解

(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．

(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．

(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的

函数．

(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．

反思与感悟

判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：(1)A，B必须是非空数集；(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任何一个元素在B中必须有唯一一个元素与其对应．

跟踪训练1

下列对应是从集合A到集合B的函数的是(

) 1A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→

|x|B．A＝N，B＝N*，f：x→|x－1| C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2

D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→x

答案

C 解析

A中x＝0时，绝对值还为0，集合B中没有0；B中x＝1时，绝对值x－1＝0，集合B中没有0；C正确；D不正确．

类型二

函数相等

例2

下列函数中哪个与函数y＝x相等？

x2(1)y＝(x)；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝. x2332解

(1)y＝(x)2＝x(x≥0)，y≥0，定义域不同且值域不同，所以不相等；

3(2)y＝x3＝x(x∈R)，y∈R，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以相等；

x，x≥0，(3)y＝x＝|x|＝y≥0；值域不同，且当x<0时，它的对应关系与函数y＝x不－x，x<0，2

相同，所以不相等；

x2(4)y＝的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x的定义域不相同，所以不相等．

x反思与感悟

在两个函数中，两个函数的定义域、值域、对应关系有一个不同，两函数就不相等，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相等．

跟踪训练2

下列各组中的两个函数是否为相等的函数？

(1)y1＝x＋3x－5，y2＝x－5；

x＋3(2)y1＝x＋1x－1，y2＝x＋1x－1. 解

(1)中两函数定义域不同，所以不相等；

(2)中y1＝x＋1x－1的定义域为{x|x≥1}，而y2＝x＋1x－1的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，定义域不同，所以两函数不相等．

类型三

“对应关系f”的表现形式

例3

(1)已知函数f(x)＝2x＋1，求f(0)和f[f(0)]；

1，x为有理数，(2)求函数g(x)＝的定义域，值域；

0，x为无理数

(3)若f(x)、g(x)对应关系分别由下表给定，求f[g(x)]的值域. x f(x)

g(x)

解

(1)f(0)＝2×0＋1＝1. ∴f[f(0)]＝f(1)＝2×1＋1＝3. (2)x为有理数或无理数，故定义域为R.只有两个函数值0,1，故值域为{0,1}．

(3)f[g(x)]中的x＝1,2,3. 由表知g(1)＝1，g(2)＝2，g(3)＝1，

∴f[g(1)]＝f(1)＝3，f[g(2)]＝f(2)＝2，f[g(3)]＝f(1)＝3. ∴值域为{2,3}．

反思与感悟

“某种确定的对应关系f”可以有各种表现形式，可以是传统的一个解析式，可以是分成若干段，每段一个解析式，也可以用表格硬性指定对应关系．

跟踪训练3

(1)已知函数f(x)＝2x＋1，求f[f(x)]；

(2)如图是函数f(x)的图象，试写出f(x)的解析式．

1

3

1

2

2

2

3 1 1

解

(1)f[f(x)]＝2f(x)＋1＝2(2x＋1)＋1＝4x＋3. x，0≤x≤1，(2)f(x)＝

1，1

练习

1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有(

) ①y是x的函数；

②对于不同的x，y的值也不同；

③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；

④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．

A．1个

C．3个

B．2个

D．4个

答案

B 2．下列说法中，不正确的是(

) A．函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应

B．函数的定义域和值域一定是无限集合

C．定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了

D．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素

答案

B 3．下列关于函数与区间的说法正确的是(

) A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集

B．函数定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了

C．数集都能用区间表示

D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应

答案

D 4．区间(0,1)等于(

) A．{0,1} C．{x|0

C 5．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是(

) A．f(a)∈B

B．f(a)有且只有一个

C．若f(a)＝f(b)，则a＝b

D．若a＝b，则f(a)＝f(b) 答案

C 小结

1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应关系一样即可．

2．f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同，对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示．

B．{(0,1)} D．{x|0≤x≤1}