习题2.2公开课参赛课教案

西

吉

中

学

教学设计

课题

幂函数

宁夏西吉中学

韩世强

一、教学目标：

1．知识目标：

11通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x，y=x，y=x，y,yx2的图象，探求幂函数的性质，x23并能应用性质解决简单的为题。

2．能力目标：

通过类比指数函数的概念引入幂函数的概念，培养学生抽象概括和类比分析能力；通过列表、描点作幂函数的图象，培养学生的作图能力；通过对几个特殊的幂函数图象的观察、分析、抽象出一般幂函数的性质，培养和提高学生的抽象概括、归纳总结和数学表达等基本思维能力，体验用数形结合、转化函数等数学思想来解决数学问题的方法，学习从特殊到一般的研究问题的方法和认识规律。

3．德育目标：

通过师生互动，生生互动的教学活动过程，引导学生主动参与作图、交流讨论、分析图象特征和归纳函数性质的过程，体验数学发现和研究的历程，体会成功的喜悦，培养学生的探索精神、创新意识和合作交流的科学态度，在研究图象变化的过程中渗透辨证唯物主义观点。

二、重点遇难点：

1、重点：幂函数的概念、图象和性质。

2、难点：将函数图象的直观特点上升到理性认识，归纳概括成函数性质。

三、教学方法与教学手段：

1、教学方法：本节课采用探索发现法、讨论法和类比分析的教学方法。

通过不同形式的自主学习和探究活动，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辩析思考的学习气氛中。

2、教学手段：利用实物投影仪及计算机辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。

四、教学过程

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学

教学

环节

新

课

引

入

教学内容

教师提出问题：1、到目前为止，我们已经学习了哪些基本初等函数？

2、观察下列两组函数，每一组的表达式有什么共同特征？

（1）y=3x，y=0.5x，y=5x, y=0.7x

（2）yx,师生互动

学生积极回忆思考，回答教师问题。教师引导：从函数自变量的位置这一角度来考虑。学生回答后教师引出幂函数的课题。

设计意图

温故知新，

从复习指数函数的定义入手，引出幂函数的定义，培养学生的类比分析的能力。

师生互动

师：指数函数的定义式为y=ax（a＞0且a≠1），你认为幂函数的一般形式应如何表示？

生：y=x。教师板书定义：一般地，形如y=xyx2,yx1,yx,yx2

23生：共同特征：（1）底数是常数，自变量在指数位置上,是我们学过的指数函数。

（2）底数可变，而指数不可变，即是以幂的底数为自变量，指数为常数的函数。

教学内容

教学

环节

概

念

形

成

及

深

化

设计意图

培养学生观察、归纳、概括能力。

通过三个思考题的设计，训练学生思维的广阔性、发散性，进一步加深对幂函数定义的认识和理学生积极思考，讨论回答教师提出的问题。

教师指出(1)和(3)不符和幂函数的定义，不过它们可以看作是（∈R）的函数称为幂函数。其中为常数。

注：（1）我们目前只讨论指数为有理数的比较简单的幂函数；

（2）并不是所有的一次函数和二次函数都是幂函数。

思考：

1、

幂函数的表达式有什么特征？

2、

判断下列函数是否是幂函数？

(1)yx21(2)yx3(3)y2x2(4)yx

3、

你能举出几个幂函数的例子吗？

23由幂函数与常数经过算术运算得到的初等函数。

解。

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函

数

图

象

学生分组作出下列函数的图象（每组作2个）

学生列表描点作图，教师先用实物投影仪展示学通过作图训练学生的动手实践能力,并为下面的学习提供丰富的直观材料。

(1)yx(2)yx12(3)yx2

(4)yx3(5)yx1(6)yx2

跟据图象填写函数性质表:

定义域

yx

值域

单

调

区

间

奇偶性

生的优秀作品，并用几何画板展示各

yx

12

函数的图象。

学生观察图象,归纳,、想象性质，填写表格。

培养学生的作图技能和识图能力，以及抽象概括能力。

yx2

yx3

yx1

yx2

教师巡视,学生口答表格从这些函数的图象我们可以看到,幂函数y=x随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同。但它们也有一些共同的性质：

内容。

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教学

环节

函

数

性

质

探

究

教学内容

教师利用计算机分别展示幂函数y=x师生互动

学生分组讨论，一段时间后，派代表发表本组的意见，各组之间进行交流，最后达成一致意见，师生共同总结出幂函数的性质。

在整个交流讨论中，教师既要有对正确认识的赞赏，又要有对错误见解的分析及对本人的鼓励。

当学生的讨论误入歧途时，教师还要给予适当的引导。

设计意图

师生互动，突破难点。

培养学生的看图、析图能力，归纳、概括和想象能力，让学生自主探究，主动学习，逐步体会用数形结合、函数等数学思想解决问题的方法，在合作、讨论中提高数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。

学生在合作交流、与人分享、探讨的氛围中倾听、质疑、表述，体验成功的喜悦；学会合作，并在合作中懂得欣赏他人。

这一练习题的设计，目的在于检测学生幂函数图象及性质的掌握情况。

当让学生观察它们在1,01,0的图象，第一象限内的图象，探究、讨论，归纳、概括幂函数的性质。

教师引导：

（1）y=x在(0,)上都有定义吗？

（2）它们的图象恒过哪些定点？

（3）它们的单调性怎样？与有何关系？

师生共同总结：

（1）

所有的幂函数在(0,)上都有定义，并且图象都通过点（1，1）；

（2）

如果0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)上是增函数；

（3）

如果0, 则幂函数在区间(0,)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴。



最后，教师板

书幂函数的练习图

三种形式的简图。

练习：已知幂函数y=x在第一象限的图象如图

1

所示，已知取2,四个值，则相应于曲线2学生讨论交流，口答练习C1、C2、C3、C4的值依次为（

）

题。

1111,,2

B ．2,,,2

22221111C．,2,2,

D．2,,2,

2222A ．2,

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教学

环节

应

用

举

例

教学内容

例1：比较下列各组数的大小：

师生互动

设计意图

这一例题的作用主要在于培养学生根据例题构造函数，并利用函数性质来解决问题的能力，同时加深学生对幂函数及其性质的理解，渗透数性结合、转化、类比等数学思想。

55学生先思考、1.31.344(1)0.5,0.4

(2)3.1,3.7

交流，

当思路受阻7710.30.30.2(3)88,()8

(4)0.2,0.3,0.3

时，教师及时9给予启发、引分析：1.要比较的两个值有什么特点? 导、分析，充都是幂的形式,且指数相同(不变),底数不同(变),因分体现教师此我们想通过构造幂函数解决问题. 的主导作用。2.构造一个什么样的幂函数? 最后教师板3.要比较的两个值与所构造的幂函数有何关系? 书解答过程。

把这两个值看成是两个函数值.那么,此题就变成了

比较两个函数值大小的问题. 最后让学生反思、归纳解4.根据幂函数在(0,)上的单调性,可通过比较自决这类比较变量取值的大小来比较对应的函数值的大小。

大小问题的7解题方法和85.(3)需要转化，考察幂函数yx的单调性。

步骤。

6.(4)先利用幂函数yxx0.3的单调性,再利用指数函数y0.3的单调性。

知

识

巩

固

巩固练习：教材第79页，习题2-3

1

例2：讨论函数yx的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的增减性。

分析：先根据解析式求出函数的定义域，然

后判断函数的奇偶性，列表、描点、连线，画出函数在第一象限的图象，再根据这个函数的图象关于y轴对称，作出整个函数的图象。

巩固练习：教材第79页，习题2-3

3.（1）

思考与讨论：

(1)在幂函数23学生思考，口答习题1。

例2由学生独立完成,教师巡视，用实物投影仪展示学生的作品，用计算机展示此函数地图象。

学生分组讨论，交流，教师展示这两类函数图象，师生共同归纳出它们的性质。

培养学生的作图能力，

以及利用函数的性质解决问题的能力。

培养学生自主探究、合作学习的习惯，提高抽象概括能力，发展学生的发散思维能力。

能

力

提

高

y=x中,如果是正偶数(=2,4,6,…),这一类函数具有哪些性质？

(2)在幂函数y=x中,如果是正奇数（= 1,3,5,….),这一类函数具有哪些性质？

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教学

环节

归

纳

小

结

教学内容

师生共同完成：

1．

幂函数的概念；

2．

幂函数的图象和性质；

3．

观察、归纳是发现数学问题的重要方法；

4．

学习数形结合、转化、类比和函数的数学思想和方法。

师生互动

让学生回忆本节课收获，大胆发言，归纳概括，教师及时点评并总结完善。

设计意图

巩固本节课学习成果，使学生逐步养成善总结、会总结的习惯，提高归纳概括能力。

帮助学生巩固所学知识，反馈课堂教学效果，使下一节课的教学有的放矢。

特别是“课外探究”这一内容的设计，将课堂延伸，使学生将课堂所学内容进行再现和升华，对所学内容有一个系统的认识。

布

置

作

业

1．教材第79页

习题2-3

2,3（2），（3）

2．阅读：教材第78页的“探索与研究”

3．课外探究：幂函数的图象共有哪几种类型？（提示：设

p，从p与q的奇偶性出发分情况讨q

论）讨论交流后，填写下表：

pq

0

01

1

p、q都

是奇数

p是偶数

q是奇数

p是奇数

q是偶数

五、板书设计设：

2.3

幂函数

一、复习引入

二、新课讲解

三、应用举例

四、巩固练习

1．函数的定义：

例1

练习1 2．幂函数的图象

3．幂函数的性质：

例2

练习

2

小结：

作业：

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