习题2.2国家获奖教案

对数与对数函数

1．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x1A.

3

B.12解析：由f(2－x)＝f(x)可知f(x)关于直线x＝1对称，

当x≥1时，f(x)＝lnx，可知当x≥1时f(x)为增函数，

等于(

)

D.3

3所以当x<1时f(x)为减函数，

11因为|－1|<|－1|<|2－1|，

2311所以f()

23答案：C 16．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝()x；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝(

) 232

C.

64解析：由条件知，log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴x＝8，

∴x12＝2. 4答案：C 2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(

) A．log2x

11B.x

C．logx

22

D．2x2

－1A.

24

11B.

C.

128

3D.

8解析：∵2＜3＜4＝22，∴1＜log23＜2. ∴3＜2＋log23＜4，

∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log224) 解析：f(x)＝logax，∵f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2. ∴f(x)＝log2x. 答案：A 3．设a＝log32，b＝ln2，c＝5A．a

解析：a＝log32＝答案：C 4．函数y＝ln(1－x)的图象大致为(

)

12，则(

)

D．c

log21log241log224＝()2＝2＝224＝. 2241B．b

C．c

12答案：A 7．|1＋lg0.001|＋1lg2－4lg3＋4＋lg6－lg0.02的值为________．

3ln2log33＝，因此c

∵0

解析：依题意由y＝lnx的图象关于y轴对称可得到y＝ln(－x)的图象，象向右平移1个单位即可得到y＝ln(1－x)的图象，变换过程如图．

答案：C 5．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有(

) 11A．f()

32111111B．f()

C．f()

D．f(2)

4＋2. 43x1，x≤09．已知函数f(x)＝，则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的x的取值范围是logx，x＞02

__________．

解析：当x≤0时，3x1＞1⇒x＋1＞0，∴－1＜x≤0；

＋当x＞0时，log2x＞1⇒x＞2，∴x＞2. 综上所述，x的取值范围为－1

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答案：{x|－10，a≠1，函数y＝alg(x22x3)又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4. ∴a2－a＋b＝4，∴b＝4－a2＋a＝2.故f(x)＝x2－x＋2. 有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x－x2)的单调区间．

从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2 17＝(log2x－)2＋. 2417∴当log2x＝，即x＝2时，f(log2x)有最小值. 242log2x－log2x＋2＞2(2)由题意

2logx－x＋2＜22解：设t＝lg(x2－2x＋3)＝lg[(x－1)2＋2]．

当x∈R时，t有最小值lg2. 又因为函数y＝a所以0

令u＝3－2x－x2，x∈(－3,1)，则y＝logau. 因为y＝logau在定义域内是减函数，

当x∈(3,1]时，u＝－(x＋1)2＋4是增函数，

所以f(x)在(3,1]上是减函数．

同理，f(x)在[－1,1)上是增函数．故f(x)的单调减区间为(3,1]，单调增区间为[－1,1)．

11．已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围．

解：∵a>0，且a≠1，

∴u＝2－ax在[0,1]上是关于x的减函数．

又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，

∴函数y＝logau是关于u的增函数，且对x∈[0,1]时，

u＝2－ax恒为正数．

a>1其充要条件是，即102lg(x22x3)有最大值，

x＞2或0＜x＜1⇒⇒0＜x＜1.

－1＜x＜2

∴a的取值范围是(1,2)．

12．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．

(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值；

(2)x取何值时，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)＜f(1)．

解：(1)∵f(x)＝x2－x＋b，

∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b，

由已知(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a(log2a－1)＝0. ∵a≠1，∴log2a＝1，∴a＝2. 第

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