探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系教学设计(教案)

课题：互为反函数的函数图像间的关系及应用

1、知识与技能：（1）了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关系，由已知函数的图像作出反函数的图像。（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。（3）能利用所归纳的性质解决实际问题。

2、过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程。

3、情感态度价值观：通过图像的对称变换是学生该授数学的对称美和谐美，激发学生的学习兴趣。

教学过程设计

一、

复习提问

1、

反函数的概念。

2、

点P(a,b)关于直线y=x对称的对称点P′的坐标为

. 3、

函数y=2x2-3(x∈R)有没有反函数？为什么？如何改写定义域才能使其有反函数？

一、

新知探究

设问1、你能在基本初等函数中找到互为反函数的函数吗？并作出对应函数的图像。

2、画出y=3x-2 的图像，并求出反函数。探究互为反函数的两个函数的图象之间是否具有某种对称关系? 总结：

函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y = f －1 ( x ) 的图象关于直线y = x 对称。

3、

延伸探究

yf设问2、当f(x)=3x-2时，作出图像：1(x)x23与

yf1(x)x23

函数y=f-1(x)与函数x=f-1(y)是同一函数，图像关于直线y=x对称。

函数y=f-1(x)与函数x=f-1(y)是同一函数，图像关于直线y=x对称。

二、

例题讲解

yx3∈R)的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图象. 例1 、求函数 (x2练习1、画出函数y=x(x∈[0,+∞))的图象，再利用对称性画出它的反函数的图象.总结：

三、

知识应用

例2、若点P（1，2）在函数

y



axb

的图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值。

3x11(xa,a)

练习2、已知函数

f ( x ) =

3

x

a（1）求

f ( x ) 的反函数；

（2）若这个函数图象关于

y = x 对称，求

a 值。

x

y(x1)例3、求证：函数

x



1

的图象关于直线y=x对称.你能得到什么结论？

总结：如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函

数的图象关于y = x 对称；反之，如果一个函数的图象关于y = x 对称，那么这个函数的反函数就是它本身。

备用练习：如果y=f（x）的图象过点（1，2），那么y=f-1(x)–1的图象过点__________ 如果一次函数y=ax+2与y=3x-b的图象关于直线y=x对称，求a,b的值？

四、课堂总结：

1、函数

y = f ( x ) 的图象与它的反函数

y = f －1 ( x ) 的图象关于直线

y = x 对称。

2、函数y=f(x)与函数y=f -1(x)互为反函数，图像关于直线y = x对称；函数y=f(x)与函数x=f -1(y)为互为反函数，图像相同。函数y=f -1(x)与函数x=f -1(y)是同一函数，图像关于直线y=x对称。

3、利用对称性画出已知图象的函数的反函数的图象。

4、如果两个函数的图象关于y = x 对称，那么这两个函数互为反函数。

5、如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数的图象关于y = x 对称；反之，如果一个函数的图象关于y = x 对称，那么这个函数的反函数就是它本身。

五、布置作业

六、教学反思

本节课的处理是通过画2组特殊的函数图像得出一般结论的。首先我认为这样处理虽然可以使学生得出并记住这个结论，但学生对这个结论理解并不深刻。这样处理不利于培养学生严密的数学思维。但是，本节课我引导学生不断从例题中得出结论虽然不严谨，但符合从特殊到一般的归纳方法，对于处在高一学段的学生来讲，有助于培养动手能力和对数学的兴趣。知识的应用选取典型例题，对性质进一步扩充，这样在练习中去归纳总结，也能锻炼学生的总结归纳的能力。在后期的学习中能养成很好的数学学习的习惯。