习题2.2教学设计思路

第二章

第07节

对数与对数函数

【考纲解读】

考

点

考纲内容

1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化16．对数函数的图象与性质

成自然对数或常用对数；了解对数2015新课标Ⅱ，5 在简化运算中的作用．

2018新课标III，4 2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点．

17．与对数函数相关的综合问题[来源学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com]五年统计

分析预测

1．对数运算；

2．对数函数的图象和性质及其应用；

3．除单独考查外，在大题中考查对数运算、对数函数的图象和性质的应用是热点．

4.备考重点：[来源:Zxxk.Com][来源:学科网ZXXK]

1．知道对数函数是一类重要的函数模型．

2．了解指数函数y=ax与对数函数2015新课标I，13 2016新课标I，7，8 2016新课标II，15 （1）对数运算；

（2）对数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；

（3）图象过定点；

（4）底数分类讨论问题．

y=logax互为反函数(a>0，且a≠1)．

2018新课标I，9 【知识清单】

对数的概念

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

对点练习

11设2a＝5b＝m，且a＋b＝2，则m等于（

）

A．10

B．10

C．20

D．100 对数的性质、换底公式与运算性质

（1）对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1)

（2）对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

M②loga＝logaM－logaN；

N③logaMn＝nlogaM(n∈R)；

n④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0)．

m（3）对数的重要公式

logaN①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；

logab②logab＝1，推广logab·logbc·logcd＝logad．学-科网

logba对点练习

2,x0

，若fa2，则实数a=（

）

【2018新疆乌鲁木齐二模】已知函数fx{xlog2x,x0A．-1

B．4

C．1或1

D．-1或4 4对数函数及其性质

（1）概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

（2）对数函数的图象与性质

a>1

0

定义域：(0，＋∞)

值域：R

性质

当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0；

当0

当x>1时，y<0；

当00 在(0，＋∞)上是减函数

对点练习

【2018四川联测促改】已知函数fx在区间2,2上单调递增，若flog2mflog4m2成立，则实数m的取值范围是（

）

A．,2

B．,1

C．1,4

D．2,4

1414

反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．学科！网

对点练习

函数yfx的图象和函数ylogax

(a0且a1)的图象关于直线yx对称，且函数gxfx13，则函数ygx图象必过定点_____________．

【考点深度剖析】

与对数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往对数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．

【重点难点突破】

考点1 对数的化简、求值

【1-1】求值lg8lg125lg2lg5

lg10lg0.1x的值．

y【1-2】已知lgxlgy2lg2x3y，求log32【1-3】若loga2m,loga3n,则a2mn________，用m,n表示log46为________．

【领悟技法】

1．对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此，经常会用到换底公式及其推论；在对含有字母的对数式化简时，必须保证恒等变形．

2．a＝N

b＝logaN

(a>0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意灵活运用．

3．利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化．

4．有限制条件的对数化简、求值问题，往往要化简已知和所求，利用“代入法”．

b【触类旁通】

【变式一】【2018河南豫南九校一模】log2cos74的值为（

）

A．1

B．112

C．

D．

222【变式二】【2018河北衡水模拟】河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门

石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列an，则log2a3a5的值为（

）

A．8

B．10

C．12

D．16 考点2 对数函数的图象及其应用

【2-1】【2018湖南张家界三模】在同一直角坐标系中，函数fx2ax，gxlogax2（a0，且a1）的图象大致为（

）

A．B．C．D．

1【2-2】当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是（

）

2A．0，22

B．，1

C．(1，2)

D．(2，2) 22x0,log1x,2【2-3】已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不等的实根，则实数k的取值xx0,2,范围是

(

) A．(0,)

B．(,1)

C．(1,)

D．(0,1]

【2-4】【2018山东济南一模】设x1，x2分别是函数fxxa则x14x2的取值范围是

A．4,

B．4,

C．5,

D．5,

x和gxxlogax1的零点（其中a1），【领悟技法】

1．ylogax的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线x1的右侧，a1时，底大图低（靠近x轴）；0a1时，底大图高（靠近x轴）．（2）左右比较（比较图象与y1的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．

2．涉及对数函数的定义域问题，要考虑底数大于零且不为1，真数大于零．

3．涉及对数函数单调性问题，要注意底数的不同取值情况．

【触类旁通】

【变式一】【2018安徽安庆二模】函数fxx1x1logax（0a1）的图象的大致形状是（A．B．C．D．

【变式二】【2018青海西宁一模】函数fxlogx21x的单调增区间为（

）

2A．,12

B．1110,2

C．2,

D．2,1

考点3 对数函数性质及其应用

【3-1】若loga(a2＋1)loga2a0，则a的取值范围是（

）

A．(0，1)

B．0，12

C．12，1

D．(0，1)∪(1，＋∞)

【3-2】函数f(x)log2xlog2(2x)的最小值为_________．

【领悟技法】

1．比较两个对数值的大小，若同底数，考虑应用函数的单调性；若底数不同，首先化同底数．

2．对数函数的定义域、值域问题，要考虑底数大于零且不为1，真数大于零．

）

3．数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想的应用，是本节的一突出特点．

【触类旁通】

【变式一】【2018北京顺义区二模】若alog31,blog39.1,c20.8，则a,b,c的大小关系为

2A．abc

B．bac

C．acb

D．cab

【变式二】若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．

【变式三】已知函数fx＝loga(8－ax)

(a>0，且a≠1)，若fx1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．

易错试题常警惕

易错典例：1．函数ylog1(x24x3)的单调递增区间为（

）

3A．(3，＋∞)

B．(－∞，1)

C．(－∞，1)∪(3，＋∞)

D．(0，＋∞)

易错分析：解答本题，易于因为忽视函数的定义域，而导致错误．

温馨提醒：

（1）复合函数的单调性，遵循“同增异减”；

（2）注意遵循“义域优先”的原则．

【学科素养提升之思想方法篇】

数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性．我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．

向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”．因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果．

【典例】【2017浙江温州中学3月模拟】已知函数判断正确的是（

）

A．当时，有4个零点；当时，有1个零点

，则函数的零点个数的B．无论为何值，均有2个零点

C．当时，有3个零点；当时，有2个零点

D．无论为何值，均有4个零点