阅读与思考 集合中元素的个数优秀课堂实录

第一章

集合

本章结构层次图

确定性互异性集合中元素的性质无序性集合有关概念有限集集合的分类无限集空集()a1,a2,a3,ai,列举法：x|P(x)描述法：韦恩图集合的表示方法图示法:数轴大写字母表示常用数集：R,Q,Z,N,N(N)属于：元素与集合的关系不属于：集合子集：AB真子集:AB集合间的关系相等：AB补集：CUA{x|xU,且xA}集合的运算交集：AB{x|xA且xB}

并集：AB{x|xA或xB}AAA,A,ABBAABBA,AAA,AAABBAB,ABABA集合运算的性质:CU(AB)CUACUBC(AB)CACBUUUA(BC)(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC)

第一课 集合的含义及其表示

【知识梳理】

1、集合的含义

一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象全体构成一个集合。常用大写字母A，B,C等来表示，集合的每一个对象称为该集合的元素，简称元，常用小写字母a,b,c来表示。

2、

集合元素的特性

（1）

确定性：设A是一个给定的集合，a是一个具体对象，则a要么是集合A的元素，要么不是，这两种情况有且中有一种成立

（2）

互异性：对于一个给定的集合，集合中任何两个元素都是不同的，即一个集中没有相同的元素。

（3）

无序性：集合与其元素的排列顺序无关。如集合{1,2,3,4}和{4,3,1,2}是同一个集合

3、

几个特殊集合的表示方法

数集

意义

记作



空集

不含任何元素

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

自然数组成的集合

正整数组成的集合

整数组成的集合

有理数组成的集合

实数组成的集合

N

N或N

Z

Q

R

4、

元素与集合的关系

元素与集合有属于（）和不属于（）两种关系，如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA，读作“a属于A”；如果b不是集合A的元素，就说b不属于集合A，记作bA，读作“b不属于A”。

以上定义注意两点：

（1）aA，aA取决于a是不是集合A中的元素。根据集合中元素的确定性，可知对任意a与A，在aA与aA这两种情况中必有一种且只有一种成立。

（2）符合,只能用在元素与集合之间，表示元素与集合的从属关系。

5、集合的表示方法

（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，并置于花括号“｛｝”内的表示集合的方法。

注意：

①

用列举法表示时，元素间用逗号分隔开，但是最后一个元素后面不写逗号；

②

元素不能重复；

③

元素排列可以不考虑顺序；

④

对于有限集常采用些法，如果构成该集合的元素有明显的规律，也可用列举法，但是必须元素间的规律显示清楚才能用省略号。

（2）描述法：将集合中的所有元素都具有的性质（满足条件）表示出来，写成{x|P(x)}的形式。

注意：

①

不能出现未被说明的字母；

②

多层描述时，应当准确使用“且”“或”；

③

用于描述的语句力求简明、准确；

④

所有描述的内容都要写在集合符号内；

⑤

用描述法表示集后的关键是：明确集合的元素是什么；找出集合元素之间的共同特征。

（3）图示法：用一条封闭曲线的内部（或数轴）表示一集合的方法，我们称为图示法，包括：韦恩图法，数轴法。

（4）三种表示方法的优缺点比较

列举法

描述法

图示法

A{1,3,5,7}A{x|x8，

实例

xN}

优点

清楚明了

简练严谨

形象直观

是图形，不方便表示缺点

略显抽象

一般作为无限集

辅助段

6、

集合的分类

集合根据它的元素的个数的多少可以分为：

有限集：含有有限个元素的集合，如{1,2,3}是有限集

无限集：集合中含有无限多个元素。如自然数集。

空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作。

如集合{x|x2x10}，且空集归为有限集。

7、

集合相等

如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，则称集合A和集合B相等，记作“AB”

集合相等的定义所表达的意义，其实就是：若集合A与集合B中的元素是完全相同的，就称集合A等于集合B

8、0,{0},,{}的关系

（1）数0不是集合；{0}表示含有一个元素0的集

合；而是不含任何元素的集合；{}是指以

为唯一元素的集合

（2）不要把数0或集合{0}与混淆，同时注意，不要把空集写成{}，它们之间的关系是

{},{}.0,0{0}

【典型例题】

一、集合的有关概念

例1 判断下列对象是否构成集合

（1）著名的数学家 （2）大于3的所有整数

（3）方程x10的实数解

（4）直角坐标平面内第一象限内的一些点

例2 判断下列说法是否正确，并说明理由。

23611|,这些数组成的集合有5个元素

2422（2）由a,b,c组成的集合与由b,a,c组成的集合是同

（1）1,,,|一个集合

二、集合的表示方法

例3 用列举法表示下列集合

（1）A{x|2x2,xZ}

（2）B{(x,y)|2xy8}

xy1（3）M{x|(x2)2(x3)0}

（4）｛自然数中五个最小数的完全平方数｝

（5）P{y|yx2,xN,yN}

（6）Q{(x,y)|yx26,xN,yN}

例4 用描述法表示下列集合

（1）

使y1有意义的实数x的集合

x2x62（2）

坐标平现内，不在第一、三象限内的点的集合；

（3）

二次函数yaxbxc图象上所有点的集合

（4）

所有被3除余1的整数

例5 在平面坐标内画出集合所表示的点

{(x,y)|1x

三、元素与集合的关系

例6 有符号,填空

31,y1,且xy0}

221 N，0 N，2 N，0.5 N，3 N 1 Z，0 Z，2 Z，0.5 Z，3 Z

1 Q，0 Q，2 Q，0.5 Q，3 Q

1 R，0 R，2 R，0.5 R，3 R

例7 集合A{x|xab2,aZ,bZ}判断下列元素x下集合A的关系。

11 （3）x

2132（4）x1A,x2A,xx1x2；

（5）x1A,x2A,xx1x2

（1）x0 （2）x

例8 设集合A{a|an1,nN}，集合B{b|bk4k5,kN},若mA,试判断m

22

与B的关系。

例9 （1）已知集合M{xN|（2）已知集合C{6Z}，求M. 1x6Z|xN}，求C。

1x

四、利用集合元素的特性求集合或变量

例10 已知3,x,x2x是一个集合的3个元素，x应满足什么条件？

例11 若3{a3,2a1,a4}求实数a的值

22

例12 含有3个实数的集合可表示为{a,

五、集合与方程

例13 已知集合A{x|ax22x10},aR

（1）

若A中只有一个元素，求a的值；

（2）

若A中至多有一个元素，求a的取值范围；

（3）

若A中至少有一个元素，求a的取值范围；

（4）

若A，求a的取值范围。

例14 已知A{p|x2(p1)x10,xR}，求一次函数y2x1(xA)的取值范围。

例15 设S是由满足下列条件的实数所构成的集后；

2b,1}也可表示为{a2,ab,0}，求a2013b2013。

a

①1S；②若aS,则1S。请解答下列问题：

1-a1S；

a（1）

若2S，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素；

（2）

求证：若aS,则1（3）

集合S中元素能否只有一个？请说明理由；

（4）

求证：集合S中至少有三个元素。

六、集合相等

例16 已知集合AB，求c的值。其中

A{a,ab,a2b},B{a,ac,ac2}

【基础题】

1、下列各组对象中可以构成集合的是（ ）

①某校年轻老师； ②小于10大于0的实数；

③某校2013年在校成绩好的同学；

④程x40在实数范围内的解；

⑤分接近100的实数。

2、{5,2x,x4x}中的x应满足的条件是（ ）

3、已知x{1,0,x}，则实数x的值为（ ）

4、用列举法表示下列集合：

（1）30的正约数的集合为（ ）

（2）{y|y2x,x5,xN}（ ）

（3）{y|yx21,x5,xN}（ ）

（4）(x,y)|2222xy8（ ）

xy15、用描述法表求下列集合

（1）{0,1,2,3,4}（ ）

（2）不等式4x65的解集为（ ）

（3）方程x20的解集为（ ）

2【提高题】

6、设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k1A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（ ）个

7、已知集合A{(x,y)|yx23x2},

B{x|yx23x2}，C{y|yx23x2}问A,B,C能表示同一个集合吗？

8、

已知集合A{a2,(a1)2,a23a3}，若1A，求实数a的值。

9、

已知集合A{x|ax23x20,aR}，若A中的元素至多有一个，求a的取值范围。

10、A表示集合{2,3,a2a3}，B{|a3|,2}已知5A且5B，求a的值。

2

11、以正整数为元素的集合S满足：若xS，则8xS

（1）试写出集合中元素的个数为1的集合S1；

（2）试写出集合中元素的个数为2的集合S2。

12、已知集合A{x|m2x2n0,xR}，试探究当m,n满足什么条件时，集合A是有限集、无限集、空集。

A{x|x3n1,nZ}13、已知集合，B{x|x3n2,nZ},C{x|x6n3,nZ}（1）若cC，求证：必存在aA,bB，使得 cab；

（2）对任意的aA,bB,是否一定有abC

试证明你的结论

14、设集合M{a|abc,b,cZ}

22

（1）8,9,10是否都属于M？

（2）奇数是否都属于M?

第二课 子集、全集、补集

【知识梳理】

1、子集的概念

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若aA，则aB），则称集合A是集合B的子集，记为AB或BA。读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”

注意：

“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都集合B中元素，即由任意xA，能推出xB。

当集合A中至少有一个元素不属于集合B（或者说集合A中存在一个元素不属于集合B）时，我们就说集合A不包含于集合B（即A不是B的子集），记作AB，读作“集合A不包含于集合B”或“集合B不包含集合A”。A不是B的子集，有以下两种情况： B A A B

任何一个集合是它本身的子集，因为对于任何一个集合A，它的任何一个元素都属于集合A本身，记作AA

④空集是任何集合的子集，即对于任意集合A，有A

⑤在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合。因为若A，则A中不含任何元素；若AB，则A中含有B的所有元素，但此时都说集合A是集合B的子集；

⑥对于集合A,B,C，如果AB,BC

，那么AC

⑦注意符号“”与“”的区别。

二、集合的相等

对于集合A,B，如果AB,BA同时成立，则AB。AB时，集合A中的元素都在集合B中，集合B中的元素都在集合A中。

三、真子集

如果AB，且AB，这时集合A称为集合B的真子集。记为AØB或BÙA。读作“A真包含于B”或“B真包含A”，例如{a}Ø{a,b}

注意：空集是任何非空集合的真子集

同样可以得到，对于集合A,B,C，如果AØB，BØC，那么AØC

若A是B的真子集，则B中一定存在不属于集合A的元素。

④若AB，则A与B可能有两种关系：即AØB或AB。用韦恩图表示为：

B A A(B)

四、全集

在研究集合与订合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个集合为全集。也就是产，于集中含有我们所要研究的各个集合的全部元素，全集通常记作U

注意：全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究的问题有关的各个集合的全部元素。因些，全集因研究的问题而异，例如：在实数范围内计论问题时，可以把实数集R看作全集U；在平面必何中，整个平面可以看作一个全集U

五、补集

设AU，由U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合U的子集A补集。记作CUA,读作“A在U中的补集”，即CUA{x|xU,xA}，可用图示法表示出来：

A

U

六、如何判断两集合间的关系

1、要证明AB，只要证明A中任意一个元素都是集合B中的元素

2、要证明AØB，则要证明两个方面：①A是B的子集；②B中至少有一个元素不属于A

3、要证明AB，分两种情况：①若集合元素较少时，可直接用定义判断这两个集合中的元素完全相同；②若对于无限集合，可判断这两个集合相互包含，从而判断这两个集合相等。

4、数形结合法、分类讨论法及转化思想是本节常用的思想方法。

七、子集与真子集的关系

1、AØB对任意xA都有xB，但存在x0B,x0A

2、与Ø的区别。庥合ABAB或AØB

3、集合A{1,2}，B{1,2,3}，则A是B的子集，也是真子集，用符号AB与AØB均可，但用AØB更准确。

八、集合中的关系与实数中的结论类比

实数

集合

ab包含两层含义：

ab或ab

若ab且ab

则ab

若ab,bc，

则ac

AB包含两层含义：

AB或AØB

若AB且AB

则AB

若AB，BC

则AC

九、有限集的子集个数

若集合A中含有n个元素，则

1、集合A的子集个数为2；

2、集合A的子集的真子集个数为21

3、集合A的非空子集个数为21

4、集合A的非空真子集个数为22

十、补集的有关性质

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