探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系第一课时教学设计

反函数（第一课时）

教材:全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一册(上)第66页～68页

一、教材与学生数学现实的分析：

反函数是研究两个函数相互关系的重要内容，是在

“函数”

“映射”的基础上，进一步研究函数值和自变量既相互对立,又相互统一,相互依存的辨证关系，为今后学习“指数函数”与“对数函数”奠定基础。学习本节课，有助于培养学生运用辨证的观点观察问题，分析问题，解决问题的能力;有助于学生进一步了解函数的概念，得到比较系统的函数知识，并为以后的深入学习奠定基础。

重点

：1、反函数的概念的形成与认识

2、反函数的求法

难点

：利用概念求反函数的方法

二、教学目标：

1、知识目标：了解反函数的概念，会求一些简单函数的反函数

2、能力目标：通过对反函数概念的学习，培养学生分析问题，解决问题的能力，抽象概

括能力，并能在反函数的求解过程中把握函数方程思想．

3、美育目标：通过魔术引入,激起学生的学习热情,培养学生的探求精神

三、教法设计与学法指导：

1、教法设计：本节课我将采取“创设问题情境——自主探究——辨析研讨——反思评价”

四环节课堂模式来实施教学．

2、学法指导：在知识形成过程中，以“问题”为中心引导学生进行发散思维．通过观察、猜想等环节，使学生逐步接近并理解反函数的定义,进一步能够利用定义,求反函数.

四、教学过程：

1

设计方案

魔术师猜牌:表演者手里持有13张扑克牌（不含王

牌和牌号数相同的牌,1-7为红桃,8-13为黑桃,这样可说出创

花色增加神秘感），叫观众从他手里任摸1张，展示给其设

他人。然后，表演者叫他们按如下的方法进行计算：将自问

己的牌号数乘2加3后乘5，再减去25。把计算结果告诉题

表演者（要求数值绝对准确），表演者便能立即准确地猜情

出你拿的是什么牌。

境

思考：请你利用所学的函数知识解释这个魔术。

学生自主探究，交流想法．

自

学生想法一：设牌号为x,计算结果为y 列式子

y2x3525

y

1

即

y10x10

变形为x主

10

学生想法二：设计算结果为x,牌号为y 列式子

x

1

y

10探

变形为

x10y10

归结:都用到了除10 加1 这个式子

究

教师提示：魔术中主要用到了我们学过的那些知识

学生说法一：方程

与

学生说法二：

函数

根据回答

教师提示：再来回顾一下这个过程

y研

1为例,引导学生从x与y的对应以y10x10和x

10

关系辨析出这是两个函数

并指明自变量与函数值

讨

学生总结：

y1

y10x10

利用方程思想反解出x 得

x10自变量

x

y 函数值

y

x

x与y 都是一对一

2 设计意图

从学生感兴趣的魔术游戏出发，创设问题情境，引发学生的兴趣和思考．

此问题是本节课的一个核心内容，通过对一道题的多层、渐进的探讨，使学生逐步了解反函数定义中的要点，为快速、准确地求反函数，打下良好的理论基础，起到突出重点、分散难点的作用．

培养学生的探究意识及创新意识．

自

主

探

究

与

研

讨

设计方案

(结合上题，学生讨论、整理出反函数的相关概念，多

媒体展示) 结合上题,教师提示:

y1叫做函数y10x10的反函数

函数x10请学生讨论整理反函数的定义

最后给出标准定义: 设计意图

培养学生语言

表达能力．并

理解反函数

一般地,函数yfxxA中,设它的值域C.根据这的概念，

掌握反函数的个函数中x,y的关系,用y把x表示出来,得到xy.如记法

果对于y在C中的任何一个值,通过xy,x在A中都有唯一的值和它对应,那么, xy就表示y是自变量,x是自变量y的函数. 这样的函数xyyC叫做函数yfxxA的反函数

记作xf1y

习惯上我们用y表示函数,x表示自变量, 因此常常对调xf1y中的x和y

记作yf1x

强调:f1是一个整体;以后课本中不特教加说明反函数都是指yf1x形式

辨析与研讨

例: 利用定义判断yx2是否具有反函数

学生结论一

有

理由: yx2根据定义反解x,得xy

xy就是yx2的反函数

学生结论二

没有

理由: yx2根据定义反解x,得xy

xy不是函数,不符合反函数定义

通过学生之间

的相互辨析,

进一步理解反

函数定义

3

设计方案

学生结论二是正确的

,

教师提问：能否改造一下，使其具有反函数．

学生讨论：将定义域改变，使x与y的对应成为一对一即辨

可

举例：如令x0

析

教师追问:是不是所有的函数都有反函数?

什么样的函数有反函数?

提示：从映射的角度分析

与

学生讨论,总结：

反函数也是一个函数

一个函数有反函数的充要条件是这个函数相应的映研

射是一一映射．（说明１）

教师引导：再次回顾定义，观察原函数与反函数的定义域

和值域的关系．

讨

学生：反函数的定义域是原函数的值域

反函数的值域是原函数的定义域（说明２）

根据定义，说明３

yfxxA和yf1xxC是互为反函数

练

习

利用反函数定义求下列函数的反函数

设计意图

总结

关于反函数

定义的几点说

明

,

为准确理解反函数定义扫

除障碍，从而

突破难点

．

1y3x1xR(2)yx31xR

学生板演：

(1)y3x1得xyx1xR3y1,所以y3x-1的反函数是3

2yx31得x3y3x-1xRy-1,所以yx31的反函数是

此练习的设计旨在引出反函数的求解步骤

令学生体会到反函数求法来源于定义的事实

4

辨析与研讨

设计方案

根据两题总结求反函数的步骤: 学生总结: 1.2.设计意图

通过练习总结出反函数求解步骤

重点体会反函数的定义域通过原函数的值域求得

3.写出反函数的定义域

教师提问:如何得到反函数的定义域

学生情况一

根据反函数的解析式

学生情况二

根据原函数的值域

教师建议:先求原函数的值域,确定反函数的定义域

步骤: 1.

先求原函数的值域,确定反函数的定义域

2.

3.

由yfx反解得xf1y

把x、y互换,得yf1x

4.写出反函数的定义域

通过练习体会这个步骤地好处

3yx1x0

2x3

4yxR,且x1x1练习

学生板演:

（３）解:yx1x0的值域为y|y1

22

反解x 得xy1

x,y互换

yx1x1

（４）解:y2x35得y2,所以值域为:y|y2

x1x-1x3y3x2

x,y互换

yx2y2

由yfx反解得xf1y

把x、y互换,得yf1x

使学生进一步熟悉反函数的求解过程．

反解x 得x

在解决反函数问题中

反——

遇到了哪些困难？

思——

是如何突破的？

评——

其间还应注意哪些环节？

价

——

重要的数学思想与方法是在哪儿体现的？

生生、师生交流．总结本节课内容,投影要点

5

理顺学生思路，帮助学生站在理性的角度去分析问题．

设计方案

设计意图

重点强调求反函数的定义域

了解分段函数的反函数求法-----分段解决

了解原函数与反函数的定义域和值域互换在解题中的应用

1求函数y11x21x0的反函数

1x2(x0)

1.

求函数y0x0的反函数

作

1x2x0

业

axb(a,b,c是常数)的2.

函数f(x)xc3x1反函数是f1(x),则a,b,c的值x2依次是A.2,1,3B.2,1,3C.2,1,3D.1,3,2板书设计：

反函数（一）

魔术的揭谜

图解反函数的定义

例题

解题步骤

注：

四环节课堂活动模式是河北省石家庄市教科所主研的省十五规划课题，其思

想主旨是将教学内容在形式上与学生的认知规律整合，突出“以人为本，主动

发展”的要义，重视学生全面参与、全体参与、全过程参与课堂教学，真正构

建学生的主体地位．

6