习题1.2教案设计（一等奖）

1．数列的定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

2．数列的分类

分类原则

按项数分类

类型

有穷数列

无穷数列

递增数列

按项与项间的大小关系分类

递减数列

常数列

摆动数列

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．

4．数列的通项公式

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

【知识拓展】

1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，

S1，

n＝1，则an＝

Sn－Sn－1，

n≥2.an≥an－1，2．在数列{an}中，若an最大，则

a≥a.nn＋1满足条件

项数有限

项数无限

an＋1__>__an

an＋1__<__an

an＋1＝an

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

其中n∈N*

an≤an－1，若an最小，则

an≤an＋1.

3．数列与函数的关系

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n项都能使用公式表达．(

×

) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(

√

) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．(

×

) (4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(

×

) (5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(

√

)

1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．

则第7个三角形数是(

) A．27

C．29

答案

B 解析

由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 11112．已知数列，，，…，，…，下列各数中是此数列中的项的是(

) 1×22×33×4nn＋11111A.

B.

C.

D.

35424854答案

B －1n3．(教材改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(

) an－13A.

28C.

5答案

D 5B.

32D.

3B．28 D．30

－12－131－14－152解析

a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝. a1a22a3a434．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是________．

答案

30 11121解析

an＝－n2＋11n＝－(n－)2＋，

24∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30. 5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________. 2，n＝1，答案



2n－1，n≥2

解析

当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，

2，n＝1，故an＝2n－1，n≥2.

题型一

由数列的前几项求数列的通项公式

例1

(1)(2016·太原模拟)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是(

) A．an＝n2－(n－1)

nn＋1C．an＝

2B．an＝n2－1 nn－1D．an＝

2379(2)数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________. 210172n＋1答案

(1)C

(2)2

n＋1解析

(1)观察数列1,3,6,10，…可以发现

1＝1，

3＝1＋2，

6＝1＋2＋3，

10＝1＋2＋3＋4，

nn＋1第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 2…

nn＋1∴an＝. 22×1＋12×2＋12×3＋12×4＋12n＋1(2)数列{an}的前4项可变形为2，2，2，2，故an＝2. 1＋12＋13＋14＋1n＋1思维升华

由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略

(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．

(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k1，k∈N*处理．

＋

根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．

(1)－1,7，－13,19，…；

(2)0.8,0.88,0.888，…；

115132961(3)，，－，，－，，…. 248163264解

(1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．

1118881－，1－2，1－3，…，

(2)数列变为109109109181－n. 故an＝910(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3. 2－3因此把第1项变为－，

221－322－323－324－3原数列化为－1，2，－3，4，…，

2222故an＝(－1)n2n－3. 2n题型二

由an与Sn的关系求通项公式

21例2

(1)(2017·南昌月考)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________. 33答案

(－2)n1

－2121解析

由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当333321n＝1时，S1＝a1＝a1＋，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，

33故an＝(－2)n1. －(2)已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．

①Sn＝2n2－3n；②Sn＝3n＋b. 解

①a1＝S1＝2－3＝－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，

由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5. ②a1＝S1＝3＋b，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n1＋b) －＝2·3n1. －当b＝－1时，a1适合此等式；

当b≠－1时，a1不适合此等式．

∴当b＝－1时，an＝2·3n1；

－3＋b，n＝1，当b≠－1时，an＝n－1

2·3，n≥2.

思维升华

已知Sn，求an的步骤

(1)当n＝1时，a1＝S1；(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．

(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________．

(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于(

) A．2n1

－3－B．()n1

21D.n－1

23C．()n

22，n＝1，答案

(1)an＝

(2)B 6n－5，n≥2

解析

(1)当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1] ＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．

2，n＝1，故数列的通项公式为an＝

6n－5，n≥2.

1(2)由an＋1＝Sn＋1－Sn，得Sn＝Sn＋1－Sn，

23即Sn＋1＝Sn(n≥1)，又S1＝a1＝1，

2

3所以数列{Sn}是首项为1，公比为的等比数列，

23－所以Sn＝()n1，故选B. 2题型三

由数列的递推关系求通项公式

例3

根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．

1(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)；

n(2)a1＝1，an＋1＝2nan；

(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2. 1解

(1)∵an＋1＝an＋ln(1＋)，

n1n∴an－an－1＝ln(1＋)＝ln (n≥2)，

n－1n－1∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝lnn－1n3＋ln＋…＋ln ＋ln 2＋2 2n－1n－2nn－13＝2＋ln(··…··2) 2n－1n－2＝2＋ln n(n≥2)．

又a1＝2适合上式，故an＝2＋ln n(n∈N*)．

an－(2)∵an＋1＝2nan，∴＝2n1 (n≥2)，

an－1anan－1a2∴an＝··…··a

a11an－1an－2＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2. n(n1)2. 又a1＝1适合上式，故an＝2n(n1)2(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，

又a1＝1，∴a1＋1＝2，

故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，

∴an＋1＝2·3n1，故an＝2·3n1－1. －－思维升华

已知数列的递推关系求通项公式的典型方法

(1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；(2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；(3)当an出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；(4)当出现＝f(n)时，用累乘法求解．

an－1n－1

(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝·an－1(n≥2且n∈N*)，则an＝________. n

(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5等于(

) A．－16

B．16

C．31

D．32 1答案

(1)

(2)B nn－1解析

(1)∵an＝a (n≥2)，

nn－1n－21∴an－1＝an－2，…，a2＝a1. 2n－1以上(n－1)个式子相乘得

n－1a1112an＝a1···…·＝＝. 23nnn1当n＝1时也满足此等式，∴an＝. n(2)当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1. 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，

∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1. ∴{an}是等比数列且a1＝1，q＝2，

故a5＝a1×q4＝24＝16. 题型四

数列的性质

命题点1

数列的单调性

n－1例4

已知an＝，那么数列{an}是(

) n＋1A．递减数列

C．常数列

答案

B 2解析

an＝1－，将an看作关于n的函数，n∈N*，易知{an}是递增数列．

n＋1命题点2

数列的周期性

1例5

数列{an}满足an＋1＝，a＝2，则a1＝____________________________. 1－an81答案

21解析

∵an＋1＝，

1－an1∴an＋1＝＝1－an111－1－an－1＝1－an－1

1－an－1－1B．递增数列

D．摆动数列

＝1－an－11＝1－

－an－1an－1

＝1－1＝1－(1－an－2)＝an－2，n≥3，

11－an－2∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3. ∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2. 11而a2＝，∴a1＝. 21－a1命题点3

数列的最值

n例6

数列{an}的通项an＝2，则数列{an}中的最大项是(

) n＋90A．310

1C.

19答案

C 90解析

令f(x)＝x＋(x>0)，运用基本不等式得f(x)≥290，当且仅当x＝310时等号成立．因x1111为an＝，所以≤，由于n∈N*，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝最大．

909029019n＋n＋nn思维升华

(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法

①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．

an＋1②用作商比较法，根据(a＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．

ann③结合相应函数的图象直观判断．

(2)解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．

B．19 D.10

60

(1)(2016·哈尔滨模拟)数列{an}满足an＋1＝12a－1，＜a＜1，2nn12an，0≤an≤，2

3a1＝，则数5列的第2 015项为________．

(2)设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(

) 16A.

3C．4

2答案

(1)

(2)D 513B.

3D．0

31解析

(1)由已知可得，a2＝2×－1＝，

5512a3＝2×＝，

5524a4＝2×＝，

5543a5＝2×－1＝，

55∴{an}为周期数列且T＝4，

2∴a2 015＝a503×4＋3＝a3＝. 553n－2＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0. (2)∵an＝－324

12．解决数列问题的函数思想

10典例

(1)数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·()n，则此数列的最大项是第________项．

11(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是__________．

思想方法指导

(1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析．

解析

(1)∵an＋1－an

10＋10＝(n＋2)()n1－(n＋1)()n

11119－n10＝()n×，

1111当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；

当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；

当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1

∴该数列中有最大项，且最大项为第9、10项．

(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，

又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，

所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，

即k>－1－2n，又n∈N*，所以k>－3. 答案

(1)9或10

(2)(－3，＋∞)

24681．数列，－，，－，…的第10项是(

) 357916A．－

1720C．－

21答案

C 解析

所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：2n20＋符号、分母、分子．很容易归纳出数列{an}的通项公式an＝(－1)n1·，故a10＝－. 212n＋12．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则(

) A．3不是数列{an}中的项

B．3只是数列{an}中的第2项

C．3只是数列{an}中的第6项

D．3是数列{an}中的第2项和第6项

答案

D 解析

令an＝3，即n2－8n＋15＝3，整理得n2－8n＋12＝0，解得n＝2或n＝6. 3．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是(

) A．2n－1

C．n2

答案

D 解析

∵an＝n(an＋1－an)，∴an＋1n＋1＝，

annn＋1n－1B．()

nD．n

18B．－

1922D．－

23anan－1an－2a3a2∴an＝···…···a

a2a11an－1an－2an－3＝nn－1n－232···…···1＝n. 21n－1n－2n－3an－14．若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＝(n≥3且n∈N*)，则a2 018等于(

) an－2A．3

1C.

2答案

A B．2 2D.

3

a23a31解析

由已知a3＝＝，a4＝＝，

a12a22a41a52a5＝＝，a6＝＝，

a33a43a6a7a7＝＝2，a8＝＝3，

a5a6∴数列{an}具有周期性，T＝6，

∴a2 018＝a336×6＋2＝a2＝3. 15．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，若Sn是数列{an}的前n项和，则S21为(

) 2A．5

9C.

2答案

B 1解析

∵an＋an＋1＝，a2＝2，

23－2，n为奇数，∴an＝

2，n为偶数.37－＋10×2＝.故选B. ∴S21＝11×226．(2016·开封一模)已知函数y＝f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x，y∈R，1等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝

(n∈N*)，则a2 f－2－an015的值为(

7B.

213D.

2

) B．3 029 D．2 209 A．4 029

C．2 249

答案

A 11解析

根据题意，不妨设f(x)＝()x，则a1＝f(0)＝1，∵f(an＋1)＝，∴an＋1＝an＋2，2f－2－an∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1，

∴a2 015＝4 029. 7．数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则a7＝________. 答案

1 解析

由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2，

能够计算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1. 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝________. 答案

2n－1

解析

当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，得a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，

即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，

∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2·2n1＝2n，∴an＝2n－－1. 69．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·()n，则数列{an}的项取最大项时，n=________．

7答案

4或5 an≥an－1，解析

假设第n项为最大项，则

an≥an＋1，

≥n＋1·n＋2·77即66n＋2·≥n＋3·77nn66n－1，n＋1，

n≤5，解得

即4≤n≤5，

n≥4，

又n∈N*，所以n＝4或n＝5，

65故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝4. 71＋an10．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2 019项的乘积a1·a2·a3·…·a2 1－an019＝________. 答案

3 1＋a11＋a21＋a311＋a41解析

由题意可得，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，

21－a11－a21－a331－a4∴数列{an}是以4为周期的数列，而2 019＝4×504＋3，a1a2a3a4＝1，

∴前2 019项的乘积为1504·a1a2a3＝3. 11．已知数列{an}的前n项和为Sn. (1)若Sn＝(－1)n1·n，求a5＋a6及an；

＋(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an. 解

(1)因为a5＋a6＝S6－S4

＝(－6)－(－4)＝－2，

当n＝1时，a1＝S1＝1，

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(－1)n1·n－(－1)n·(n－1) ＋＝(－1)n1·[n＋(n－1)]

＋

＝(－1)n1·(2n－1)，

＋又a1也适合此式，

所以an＝(－1)n1·(2n－1)．

＋(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n1＋2(n－1)＋1]

－＝2×3n1＋2，

－由于a1不适合此式，

6，n＝1，所以an＝

n－12×3＋2，n≥2.

11*12．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a2n＋an(n∈N)．

22(1)求a1，a2，a3，a4的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

11*解

(1)由Sn＝a2n＋an (n∈N)可得

2211a1＝a21＋a1，解得a1＝1，

2211S2＝a1＋a2＝a22＋a2，解得a2＝2，

22同理，a3＝3，a4＝4. an12(2)Sn＝＋an，①

22an－112当n≥2时，Sn－1＝＋an－1，②

22①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0. 由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，

又由(1)知a1＝1，

故数列{an}为首项为1，公差为1的等差数列，

故an＝n. 1

*13.已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)．

a＋2n－1(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；

(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．

1解

(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)，

a＋2n－1又a＝－7，∴an＝1＋1(n∈N*)．

2n－9

1结合函数f(x)＝1＋的单调性，

2x－9可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，

a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)．

∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. 121(2)an＝1＋＝1＋，

a＋2n－12－an－2已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，

12结合函数f(x)＝1＋的单调性，

2－ax－22－a可知5＜＜6，即－10＜a＜－8. 2