习题2.1ppt配套的教学设计及说课稿

1．分数指数幂

n(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是a＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定a指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ars，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. ＋mnmn＝1amn(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数2．指数函数的图象与性质

y＝ax

a>1

0

定义域

值域

(1)R

(2)(0，＋∞)

(3)过定点(0,1)

性质

(4)当x>0时，y>1；

当x<0时，0

【知识拓展】

1．指数函数图象画法的三个关键点

1画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(－1，)．

a2.指数函数的图象与底数大小的比较

(5)当x>0时，0

当x<0时，y>1 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)nan＝(na)n＝a.(

×

) m(2)分数指数幂an可以理解为mn个a相乘．(

×

) 21(3)(－1)4＝(－1)2＝－1.(

×

) (4)函数y＝a－x是R上的增函数．(

×

) (5)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(

×

) (6)函数y＝2x－1是指数函数．(

×

)

1．(教材改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P(2，12)，则f(－1)等于(

A.22

B.2

C.14

D．4 答案

B 解析

由题意知12＝a2，所以a＝22，

所以f(x)＝(22)x，所以f(－1)＝(2－2)1＝2. 2．(2017·青岛调研)已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为(

) A．(0,1)

B．(2,3) C．(3,2)

D．(2,2) 答案

B 解析

由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(2,3)．

1133．已知a＝(35)3，b＝(35)4，c＝(32)4，则a，b，c的大小关系是(

) A．c

B．a

C．b

D．c

)

答案

D 3解析

∵y＝()x是减函数，

5333430∴()>()>()，即a>b>1，

55533又c＝()4<()0＝1，∴c

2 2323＝2. 44解析

原式＝×1＋2×2－335．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________．

答案

(－2，－1)∪(1，2) 解析

由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0

即1

题型一

指数幂的运算

例1

化简下列各式：

(1)[(0.064)2316122.5533]33π0;

81213(2)(ab)abab512

2327164)]()31

解

(1)原式＝[(810001552521()43133[()]523[()]31

10253＝－－1＝0. 22(2)原式＝ababab165613121213

a111326b1152361.

a思维升华

(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

11

化简()248答案

5(4ab1)3(0.1)1(a3b)132＝________. 解析

原式＝22ab10ab3233232328213101.

5题型二

指数函数的图象及应用

例2

(1)已知实数a，b满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(

) A．a<0，b<0，c<0

C．2a<2c

－B．a<0，b≥0，c>0 D．2a＋2c<2 答案

(1)B

(2)D 解析

(1)如图，观察易知，a，b的关系为a

(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，

∵af(c)>f(b)，结合图象知，

00，

∴0<2a<1.

∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，

∴f(c)<1，∴0

又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，

∴2a＋2c<2，故选D. 思维升华

(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

)

A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．0

答案

(1)D

(2)[－1,1]

解析

(1)由f(x)＝ax函数f(x)＝ax－b－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0

题型三

指数函数的性质及应用

命题点1

指数函数单调性的应用

例3

(1)(2016·威海模拟)下列各式比较大小正确的是(

) A．1.72.5>1.73

B．0.61>0.62

－

C．0.8－0.1>1.250.2

D．1.70.3<0.93.1

12x－7，x<0，(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．

x，x≥0，答案

(1)B

(2)(－3,1) 解析

(1)选项B中，∵y＝0.6x是减函数，

∴0.61>0.62. －

1(2)当a<0时，不等式f(a)<1可化为()a－7<1，

2111－即()a<8，即()a<()3，

222∴a>－3.又a<0，∴－3

综上，a的取值范围为(－3,1)．

命题点2

复合函数的单调性

例4

(1)已知函数f(x)＝2|2x范围是________．

(2)函数f(x)()－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值12x22x1的单调减区间为_________________．

答案

(1)(－∞，4]

(2)(－∞，1] mm解析

(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]上单调22递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．

1u(2)设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝2在R上为减函数，

－m|m在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，21x22x1f(x)()∴函数的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．

2又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，

∴f(x)的减区间为(－∞，1]．

引申探究

函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．

答案

[0，＋∞) 解析

设t＝2x，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，

令2x≥1，得x≥0，

∴函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．

命题点3

函数的值域(或最值) 1x1x例5

(1)函数y＝4－2＋1在区间[－3,2]上的值域是________．

(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．

31，57

(2)或3 答案

(1)431x解析

(1)令t＝2，因为x∈[－3,2]，

1所以t∈4，8，

13t－2＋. 故y＝t2－t＋1＝2413当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57. 243，57. 故所求函数的值域为4(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 11当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[，a]，又函数y＝(t＋1)2－2在a，a上单调递增，

a所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．

1当0

a1又函数y＝(t＋1)2－2在[a，]上单调递增，

a11则ymax＝(＋1)2－2＝14，解得a＝(负值舍去)．

a31综上，a＝3或a＝. 3思维升华

(1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论；(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解．

1－2x，a≤x＜0，

(1)已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围－x2＋2x，0≤x≤4是(

) A．(－∞，－3]

C．[－3，－1]

B．[－3,0) D．{－3}

(2)(2015·福建)若函数f(x)＝2|xa|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，－则实数m的最小值等于________．

答案

(1)B

(2)1 解析

(1)当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，

1当a≤x＜0时，f(x)∈[－()a，－1)，

21所以[－a，－1)[－8,1]，

21即－8≤－a＜－1，即－3≤a＜0，

2所以实数a的取值范围是[－3,0)．

(2)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴为x＝1，

∴a＝1，f(x)＝2|x1|，∴f(x)的增区间为[1，＋∞)，

－∵[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m≥1.∴m的最小值为1.

2．指数函数底数的讨论

23典例

(2016·日照模拟)已知函数y＝b＋ax＋2x(a，b为常数，且a>0，a≠1)在区间[－，0]25上有最大值3，最小值，则a，b的值分别为________．

2错解展示

解析

令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，

3∵－≤x≤0，∴－1≤t≤0. 211∵≤at≤1，∴b＋≤b＋at≤b＋1，

aa15a＝2，b＋a＝2，由得

b＝2.b＋1＝3，

答案

2,2 现场纠错

解析

令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，

3∵x∈[－，0]，∴t∈[－1,0]．

2①若a>1，函数f(x)＝at在[－1,0]上为增函数，

11x2＋2x∴a∈[，1]，b＋a∈[b＋，b＋1]，

aat15b＋a＝2，a＝2，依题意得解得

b＝2.b＋1＝3，

②若0

1∴at∈[1，]，

a1则b＋ax2＋2x∈[b＋1，b＋]，

a依题意得5b＋1＝，21b＋＝3，a

解得3b＝2.2a＝，3

a＝2，综上①②，所求a，b的值为或b＝2

3b＝2.2a＝，3

23答案

2,2或，

32纠错心得

与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论．

1．(2016·昆明模拟)设2x＝8y1,9y＝3x9，则x＋y的值为(

) ＋－A．18

C．24

答案

D 解析

∵2x＝8y1＝23(y＋－＋1)B．21 D．27 ，∴x＝3y＋3，

∵9y＝3x9＝32y，∴x－9＝2y，

解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27. 2．函数f(x)＝2|x1|的图象是(

) －

答案

B 解析

∵|x－1|≥0，∴f(x)≥1，排除C、D. 又x＝1时，|f(x)|min＝1，排除A. 故选B. 3．已知a＝40.2，b＝0.40.2，c＝0.40.8，则(

) A．a>b>c

C．c>a>b

答案

A 解析

由0.2<0.8，底数0.4<1知，y＝0.4x在R上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b>c. 又a＝40.2>40＝1，b＝0.40.2<1，

所以a>b.综上，a>b>c. 4．函数y＝16－4x的值域是(

) A．[0，＋∞)

C．[0,4)

答案

C 解析

因为4x>0，所以16－4x<16. 又因为16－4x≥0，所以0≤16－4x<16，即0≤16－4x<4，即y∈[0,4)．

2x＋15．(2015·山东)若函数f(x)＝x是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为(

) 2－aA．(－∞，－1)

C．(0,1)

答案

C 解析

∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

2x＋12x＋1即－x＝－x，整理得(a－1)(2x＋1)＝0，

2－a2－a－B．a>c>b

D．b>c>a

B．[0,4]

D．(0,4) B．(－1,0)

D．(1，＋∞) 2x＋1∴a＝1，∴f(x)＞3即为x＞3，

2－1当x>0时，2x－1>0，

∴2x＋1>3·2x－3，解得0

当x<0时，2x－1<0，∴2x＋1<3·2x－3，无解．

∴x的取值范围为(0,1)．

x2－1，0≤x≤2，*6.(2016·济南模拟)已知g(x)＝ax＋1，f(x)＝2对任意x1∈[－2,2]，存在－x，－2≤x<0，

x2∈[－2,2]，使g(x1)＝f(x2)成立，则a的取值范围是(

) A．[－1，＋∞)

C．(0,1]

答案

B 解析

由题意可得g(x)，x∈[－2,2]的值域为f(x)，x∈[－2,2]的值域的子集．

经分析知f(x)，x∈[－2,2]的值域是[－4,3]，

当a＝0时，g(x)＝1，符合题意；

当a>0时，g(x)，x∈[－2,2]的值域是[－2a＋1,2a＋1]，

－2a＋1≥－4，所以则0

2a＋1≤3，B．[－1,1]

D．(－∞，1]

当a<0时，g(x)，x∈[－2,2]的值域是[2a＋1，－2a＋1]，

2a＋1≥－4，所以则－1≤a<0. －2a＋1≤3，

综上可得－1≤a≤1. ex1,x＜1，7．设函数f(x)1则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．

3x,x≥1,答案

(－∞，8] 解析

当x<1时，由ex1≤2得x≤1＋ln 2，∴x<1时恒成立；

－当x≥1时，由x≤2得x≤8，∴1≤x≤8. 综上，符合题意的x的取值范围是x≤8. 8．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．

1答案

(0，) 2解析

(数形结合法) 1由图象可知0<2a<1，∴0

119．(2016·武汉模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时，f(x)＝－x＋x，则此函42数的值域为________．

11答案

[－，] 441解析

设t＝x，当x≥0时，2x≥1，∴0

211f(t)＝－t2＋t＝－(t－)2＋. 2411∴0≤f(t)≤，故当x≥0时，f(x)∈[0，]．

44∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，

1∴当x≤0时，f(x)∈[－，0]．

411故函数的值域为[－，]．

4410．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．

答案

(－1,2) 1x解析

原不等式变形为m2－m<2，

1x因为函数y＝2在(－∞，－1]上是减函数，

1x1－1所以2≥2＝2，

1x2当x∈(－∞，－1]时，m2－m<恒成立等价于m－m<2，解得－1

9(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．

42解

(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝()t，

3不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，

在[0，＋∞)上单调递增，

2又y＝()t是单调递减的，

3因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，

单调递减区间是[0，＋∞)．

992－(2)由于f(x)的最大值是，且＝()2，

443

所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，即g(0)＝－2，

从而a＝2. 12．已知函数f(x)()13ax24x3.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值．

解

(1)当a＝－1时，f(x)()令t＝－x2－4x＋3，

1t由于函数t＝－x2－4x＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝3在R上单调递减，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，

即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，

单调递减区间是(－∞，－2)．

1g(x)(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝3，

由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，

a>0，因此必有3a－4解得a＝1，

a＝－1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. *13.已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1. (1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]上的值域；

(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．

解

(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，

1令t＝2x，x∈[－3,0]，则t∈[，1]．

8191故f(t)＝2t2－t－1＝2(t－)2－，t∈[，1]，

4889故值域为[－，0]．

8(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，

设2x＝m>0，

等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解．

记g(m)＝2am2－m－1，

当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．

13x24x3,

1当a<0时，开口向下，对称轴m＝<0，

4a过点(0，－1)，不成立．

1当a>0时，开口向上，对称轴m＝>0，

4a过点(0，－1)，必有一个根为正，所以a>0.