习题3.1教学设计思路

2.4.2

求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

【学习要求】

1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理；

2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解．

【学法指导】

通过借助计算器用二分法求方程的近似解，了解数学中逼近的思想和程序化地处理问题的思想；通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一，体会“近似是普遍的，精确则是特殊的”辩证唯物主义观点. 填一填：知识要点、记下疑难点

如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值

，即

，则这个函数在这个区间上，至少有

，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为

零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为

零点. 研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境]

一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，但是没有公式求根，如何求得方程的根呢？

探究点一

变号零点与不变号零点

问题

函数y＝3x＋2，y＝x2，y＝x2－2x－3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值怎样变化？

小结：如果函数f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．

探究点二

二分法的概念

问题1

由变号零点的概念我们知道，函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，那么如何求出这个零点的近似值？

例1

利用计算器，求方程x2－2x－1＝0的一个正实数零点的近似解(精确到0.1)．

问题2

例1中求方程近似解的方法就是二分法，根据解题过程，你能归纳出什么是二分法吗？

问题3

给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤是怎样的？

跟踪训练1

借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)＝x3＋1.1x2＋0.9x－1.4在区间(0,1)内的零点(精确到0.1)．

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探究点三

二分法的应用

例2

求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点的近似值(精确到0.1)．

小结：判定一个函数能否用二分法求其零点的近似值的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．

3跟踪训练2

求2的近似值(精确到0.1)．

练一练：当堂检测、目标达成落实处

1.已知函数f(x)的图象是不间断的，x、f(x)的对应法则见下表，则函数f(x)存在零点的区间有

(

) x 1 2 3 4 5 6 f(x) 6 5 10 －3 －5 －23 A.[1,2]，[2,3]

B.[2,3]，[3,4]

C.[2,3]，[3,4]，[4,5]

D.[3,4]，[4,5]，[5,6]

a＋b2.设函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不间断的，且f(a)·f(b)<0，取x0＝，若f(a)·f(x0)<0，则利用二分法求函2数零点时，零点所在区间为__________．

3.已知函数f(x)＝mx＋2m－7 (m≠0)在区间[－2,5]上有零点，求实数m的取值范围．

课堂小结：

1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法．

2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近似解，体会程序化的思想即算法思想．

3.进一步认识数学来源于生活，又应用于生活．

4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的思想.

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