习题2.3第二课时教学实录

《幂函数》同步练习2

1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(

) 1

A．y＝x3

5B．y＝x2

2－1C．y＝x3

2D．y＝x3

3解析：选D.y＝x3＝x2，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．

112．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象．已知α取－2，－，，222四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为(

) 1111A．－2，－，，2

B．2，，－，－2 22221111C．－，－2,2，

D．2，，－2，－

2222解析：选B.当x＝2时，2＞22＞22＞22，

－－

211即C1：y＝x，C2：y＝x2，C3：y＝x2，C4：y＝x2. －－2113．以下关于函数y＝xα当α＝0时的图象的说法正确的是(

) A．一条直线

B．一条射线

C．除点(0,1)以外的一条直线

D．以上皆错

解析：选C.∵y＝x0，可知x≠0，

∴y＝x0的图象是直线y＝1挖去(0,1)点．

14．函数f(x)＝(1－x)0＋(1－x)的定义域为________．

21－x≠0解析：，∴x<1. 1－x≥0答案：(－∞，1)

1．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，A．16

1C.

2解析：选C.设f(x)＝xn，则有2n＝2)，则f(4)的值为(

) 21B.

16D．2

21，解得n＝－，

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1即f(x)＝x2，所以f(4)＝42＝. 22．下列幂函数中，定义域为{x|x＞0}的是(

) －－1123A．y＝x3

C．y＝x3

2－B．y＝x2

D．y＝x4

3233－－131解析：选D.A.y＝x3＝x，x∈R；B.y＝x2＝x，x≥0；C.y＝x3＝－13x，x≠0；D.y＝x34＝14，x＞0. x33．已知幂函数的图象y＝xm2－2m－3(m∈Z，x≠0)与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，则m为(

) A．－1或1

B．－1,1或3 C．1或3

D．3 解析：选B.因为图象与x轴、y轴均无交点，所以m2－2m－3≤0，即－1≤m≤3.又图象关于y轴对称，且m∈Z，所以m2－2m－3是偶数，∴m＝－1,1,3.故选B. 4．下列结论中，正确的是(

) ①幂函数的图象不可能在第四象限

②α＝0时，幂函数y＝xα的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y＝xα，当α≥0时是增函数

④幂函数y＝xα，当α<0时，在第一象限内，随x的增大而减小

A．①②

B．③④

C．②③

D．①④

解析：选D.y＝xα，当α＝0时，x≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y＝x2在(－∞，0)上为减函数，①④正确．

5．在函数y＝2x3，y＝x2，y＝x2＋x，y＝x0中，幂函数有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

20解析：选B.y＝x与y＝x是幂函数．

6．幂函数f(x)＝xα满足x＞1时f(x)＞1，则α满足条件(

) A．α＞1

B．0＜α＜1 C．α＞0

D．α＞0且α≠1 解析：选A.当x＞1时f(x)＞1，即f(x)＞f(1)，f(x)＝xα为增函数，且α＞1. 7．幂函数f(x)的图象过点(3，3)，则f(x)的解析式是________．

11αα解析：设f(x)＝x，则有3＝3＝32⇒α＝. 21答案：f(x)＝x2

8．设x∈(0,1)时，y＝xp(p∈R)的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．

解析：结合幂函数的图象性质可知p<1. 答案：p<1 第

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9．如图所示的函数F(x)的图象，由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xα“拼接”而成，则aa、aα、αa、αα按由小到大的顺序排列为________．

解析：依题意得

111a4＝a＝，216⇒

1α11＝α＝.422111411113211111181aαaα所以a＝()16＝[()]16，a＝()2＝[()]16，α＝()16，α＝()2＝[()]16，由幂函数162162222单调递增知aα＜αα＜aa＜αa. 答案：aα＜αα＜aa＜αa

－10．函数f(x)＝(m2－m－5)xm1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．

解：根据幂函数的定义得：m2－m－5＝1，

解得m＝3或m＝－2，

当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；

－当m＝－2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3. ＋－11．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2m1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？

解：(1)若f(x)为正比例函数，

2m＋m－1＝1则2⇒m＝1. m＋2m≠0(2)若f(x)为反比例函数，

2m＋m－1＝－1则2⇒m＝－1. m＋2m≠0(3)若f(x)为二次函数，

2m＋m－1＝2－1±13则2⇒m＝. 2m＋2m≠0





(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，

∴m＝－1±2. －－12．已知幂函数y＝xm22m3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象．

解：由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3. 又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3. －当m＝0或m＝2时，y＝x3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不适合题意．

∴m＝±1或m＝3.当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图(1)．

－当m＝1时，y＝x4，其图象如图(2)．

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