小结教案1

1．2

一元二次方程的解法

1、选择方法，求解方程

例1 解方程

（1）x3x18

（2）x22x1(2x1)2

解（1）法一（因式分解法）

原方程可化为x3x180

将方程左边因式分解，得

(x6)(x3)0

即

x60或x30

解得

x16，x23

法二

（公式法）原方程可化为x3x180

∵a1，b3，c18

b24ac(3)241(18)810

222bb24ac(3)8139

∴

x

2a212解得x16，x23

（2）法一（因式分解）原方程可化为：x2x14x4x1

整理，得x2x0，

即x(x2)0

解得

x10，x22

法二（开平方）

原方程可化为：(x1)(2x1)

开平方，得

x12x1或x1(2x1)

解得

x10，x22

解题规律总结

因式分解法与公式法是我们解一元二次方程最常用的方法，因式分解就是把方程化成一元二次方程一般形式后，左边分解成两个一次因式乘积；公式法是万能法，配方法是开平方法的基础，开平方法适用于形如xp(p0)的方程。

2、巧用换元，化难为易

2222例2

若(uv)(1uv)60，求uv的值

22222222

解：设uv=x,则等式为：x(1x)60，

整理，得xx60，即

(x3)(x2)0

解得，x13，x22

∵uv0，∴uv=3 解题规律总结

换元法是把含一个字母或几个字母的式子用一个新的字母来表示，由多元变一元，高次化低次，达到化繁为简的目的。如x6x50，可设y=x2.

3、不解方程，整体代入求值。

例4 已知2x3x10，求2xx7x3的值。

解：∵2x3x10，

即

2x3x1

∴2xx7x3=x(2x23x)4x27x3

=4x6x3

=2(2x23x)3

=5 解题规律总结

求出x，再代入代数式求值是常用的方法。由于本题的x的值是无理数且有两个值，计算非常繁锁，实行构建2x3x，既达到降次目的，又避免了两次计算。

4、一元二次方程的判别式的应用

例4 已知关于x的方程x(k2)x2k0。

（1）此方程是否有实数根？说明理由。

（2）若等腰ABC的一边长a1，另两边长b，c恰好是方程的两个根，求ΔABC的周长。

2解：（1）方程的判别式为[(k2)]412k

2223222232422222222

=k4k4

=(k2)0

因为无论k为何值，判别式恒为非负数，所方程总有实数根。

（2）若以边长a1为腰，则b，c中有一个为1，不妨设b=1，

2把x=1代入方程，得k==1，且方程为x3x20。解得

x11，x22，即c2.22根据三角形三边关系，此时不能构成三角形。

若以a为底，则b，c为腰，方程有两个相等的实数根，由（1）知，k2，

方程为x4x40，解得b=c=2，三角形ABC的周长为5。

解题规律总结

判别式的应用分为两类情况，其一是已知根的情况确定待定系数的取值，通常是由条件写出一个等式或不等式；其二是判别根的存在性，解法是写出判别式，或者是利用配方法将判别式化变形。

例5 解方程

(2x1)23x(2x1)

错解

方程两边同除以2x1，得

2x13x，方程的解是x1

错因

方程两边只能除以一个不等于0的数，所得方程才与原方程同解，显然2x1可为0，造成失根。

正解

原方程可化为(2x1)23x(2x1)0，即

(2x1)(x1)0

解方程得

x1

例6 已知a为非负整数，且方程x3xa0有整数根，求方程的整数根

解

法一

∵方程x3xa0有整数根，

∴判别式94a0，即a2.25

∵

a为非负整数，∴

a0或a1或a2

2如果a0，则x3x0，∴x10，x23

2221，x21

2如果a1，则x394a不是整数

2394a31，∴x11，x22

222如果a2，则x2法二 由x3xa0，得x3xa

2∵

a为非负数，∴x3x0，x(x3)0，即3x0

又∵

x是整数，∴

x可能为-3，-2，-1，0，

当x3时，a0；当x2时，a2；当x1时，a2；当x0时，a0；

所以，若a0，方程的两根为x10，x23

若a2，方程的两根为x11，x22