复习参考题教学目标

提高数学解题的效益

高三数学组 程勇

要提高数学解题能力，就要多作练习，在总结、归类中提炼共性的思想与方法。在解题的过程中提高训练的有效性，达到高效低耗的目的。就是说，通过解决有限个数学问题，获得解决无限个数学问题的解题智慧、解题技巧、解题方法。

一、学会语言的翻译及等价转换

数学语言有三种基本形式：文字语言、符号语言、图像语言，每种语言各有特点，在数学中发挥不同的作用，数学问题的解决本质就在于语言间的等价转换。前提是：需用一定量的知识积累，并能够正确运用数学原理分析三种语言间的逻辑关系，习惯于逐字、逐句、逐个符号、逐个图形去分析、变式、等价转换。这一过程中，能从一点突破带动全局，快速找到解题思路。

例1、某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg用煤9t,电力4kw，劳力（工作日）3个；制造乙产品1kg用煤4t,电力5kw，劳力10个；制成甲产品1kg可获利7万元，制成乙产品1kg可获利12万元，；现工厂有煤360t，电力200kw，劳力300个。此种条件下两种产品各生产多少，才能获得最大利润？

解析：设工厂分别生产甲、乙产品xkg、ykg，利润z万元，于是将文字语言转换为下列不等式组： y 9x4y3609x+4y=360 4x5y200

3x10y300M 3x+10y=300 x0,y0 o x

4x+5y=200 要使利润最大，只需z=7x+12y最大即可。将不等式语言转换为图形语言,由上图可知M（20，24）代入z的最大值为428万元。

故工厂生产甲产品20t,乙产品24t才能获得最大利润。

二、注重解题通法的提炼

解答数学问题，可以总结一些十分有用的通法乳化无理为有理、化分

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式为整式、化高次为低次、化异为同、化繁为简、化隐为现、化未知为已知、化陌生为熟悉，这种连续的化简、变形，体现了数学解题的套路，犹如“水往低处流一样”。

1(xR),点p1(x1,y1),p2(x2,y2)是f(x)图像上的4x11两点，且线段p1p2的中点p的横坐标为

2（1）求证：p的纵坐标是定值；

例二、已知函数f(x)=n（2）若数列an的通项公式an=f(m),(mN,n=1,2,3n)，求前n项和sm；

amam1（3）mN,不等式smsm1恒成立，求a的范围。

解析：这是一道函数、数列、不等式的综合问题（1）较简单，（2）观察sm的构成112sm=f（m）+f(m)+f(mm)+f(m)可知（1）的结论为（2）作了铺垫；m（3）则要在（2）得基础上，充分利用“恒成立”，结合函数与不等式的知识来求解。

（1）x1+x2=1

1114x14x224x14x22y1+y2=f（x1）+f(x2)=x1+x2=x==

4141(411)(4x21)2(4x14x22)2yp=y1y21=

42(2)由（1）知对任意的自然数m、n都有

1nnnnf(m)+f(1-m)=f(m)+f(mm)=

2111221sm=f（m）+f(m)+f(mm)+f(m)=f(m)+f(mm)+f(m)+f（m）

mm12122sm=[f（m）+f(mm)]+[f(m)+f(mm)]+2f(mm)=1(m-1)+2f(1) 2 =1(3m-1)6sm=1(3m-1) 121aamam1)<0此不等式对任意mN恒成立, (3)am(3m13m2smsm1(ⅰ) a=0 式不成立，故a=0不和题意；

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（ⅱ） a<0 ,1a>0,只需am<0恒成立即可，但当m为偶数时不成立，3m13m2故a<0不和题意；

3m21a(ⅲ)a>0，am>0，只需<0,即对任意mN有a>恒成立即3m13m13m2可. 55易证g（m）=为减函数，g（m）g(1)=,a>

22对于“恒成立”的问题，多采取分离变量的方法，转化成求函数的最值问题，求最值得方法有导数、不等式、函数的单调性等。

三、注意解题目标意识的形成

在解决问题时，条件和解题目标之间，目光始终盯着既

定的目标，进行有目的的变形，避免头绪多而误入歧途。

例3、数列an的通项公式an1,f(n)=(1a1)(1a2)(1an)

2(n1)（1）求f（1）、f(2)、f(3)、f(4)；

（2）由上述结果推出f(n)的通项公式并证明。

解析：

f(1)=3346n2, f(2)= , f(3)=, f(4)=。推测f(n)=

846102(n1)3证明：（1）n=1时，f(1)=

公式成立

4 （2）n=k时，f(k)=k2(k1)2成立，（此时要证的目标是：f(k+1)== 2(k1)2[(k1)1]k3）。当n=k+1时，代入f(k)得

2(k2) f(k+1)=k3即n=k+1时公式也成立，（2）得证。

2(k2)

用数学归纳法证明问题时，从k到k+1的过程中，n=k+1的情景就是

目标，要实现这一目标，我们必须“凑”出目标，“变”目标。

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四、提倡浅层次的挖掘

解题要有目标意识，紧扣目标进行有目的的变形，“求什么，

列什么；求什么，解什么；求什么，想什么；求什么，需什么，

求什么，设什么“，有时非常管用。

例3、设P、Q是f（x）=x2axb（-1x1)图像上不同的点，

f（0）=f（1）。

（1）求a、b；

（2）求直线PQ的斜率范围；

（3）若x[0,1]，求f（x）图像上一点M到直线y=大值。

解析：（1）“求什么，列什么”列出关于a、b的方程组

1，x=-1距离之比的最2f(0)0b0a1  得f（x）=x2x

f(1)01ab0b0（2）“求什么，需什么”

求直线PQ的斜率范围，需计算PQ的斜率，，“想什么”想P、Q两点的坐标(x1,y1),(x2,y2)。

22y1x12x1y1y2(x1x1)(x2x2)kPQx1x21，

2xxxxyxx1212222x1,x2[1,1],x1x23

(3)“求什么，设什么”为求M到直线的距离，设M(x0,y0)

1 d1y0,d21x02，1(x0x0)d112y02d21x01x02，令t1x0(1t2)x0t1，于是

2d11332[(t1)(t1)](t)336，当且仅当t

2td2t2ttd6时取等号，故1的最大值为36。

2d2

求参量的值，就要列出这个量的方程；求某量的值，需

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建立这个量的函数解析式。

综上所述，数学题目本身就是解决问题的信息源，信息通过语言文字、公式符号、数学图形及它们间的关系告诉我们。所以，审题一定要逐字逐句，力求从语言结构、逻辑关系、数学含义等方面真正看懂题目，条件是什么（入手）？结论是什么（方向）？它们和哪些知识有联系（链接）？从自己的知识模块中提取与之相适应的解题方法，通过自己建立的思维链，把信息、方法输入大脑并整合，找到解题途径。并注意易错点，得出解题方案。

只有细致的审题，才能从题目本身获得尽可能多的信息，也是提高解题效益好方法。还要注意的是：好记性不如烂笔头，要在做中学，学中思，思中悟。

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