信息技术应用 借助信息技术方程的近似解教学设计和教学实录

3.1.1

方程的根与函数的零点（1）

项目

内容

课题

教学

目标

方程的根与函数的零点

（共

2

课时）

1.让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点. 2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界. 3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐. 修改与创新

教学重、

根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函难点

数零点的概念. 教学

准备

教学过程

教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点. 提出问题

①求方程x2-2x-3=0的根，画函数y=x2-2x-3的图象. ②求方程x2-2x+1=0的根，画函数y=x2-2x+1的图象. ③求方程x2-2x+3=0的根，画函数y=x2-2x+3的图象. ④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系? ⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它们之间有什么关系? ⑥归纳函数零点的概念. ⑦怎样判断函数是否有零点？

⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？

活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路: 问题①:先求方程的两个根，找出抛物线的顶点,画出二次函数的图象(图3-1-1-2). 问题②:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3-1-1-3). 问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图3-1-1-4). 问题④:方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数. 问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？

问题⑥:函数的零点是一个实数. 问题⑦:可以利用“转化思想”.

问题⑧:足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？

讨论结果：①方程的两个实数根为-1，3. ②方程的实数根为1. ③方程没有实数根. ④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标. ⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x轴交点的个数，可以

用判别式来判定一元二次方程根的个数.a.当Δ>0时，一元二次方程有两个不等的实根x1、x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0);b.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0);c.当Δ<0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点. ⑥一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. ⑦方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点. ⑧观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间［-2,1］

上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间［2,4］

同样如此.可以发现，f(-2)f(1)<0,函数y=x2-2x-3在区间(-2，1)内有零点x=-1，它是方程x2-2x-3=0的一个根.同样地，f(2)f(4)<0，函数y=x2-2x-3在(2，4)内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的另一个根. 图3-1-1-2

图3-1-1-3

图3-1-1-4 例1已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a分别满足下列条件，求实数a的取值范围. (1)函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点. 活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x2-2x-3|-a=0根的个数来讨论，即转化为方程|x2-2x-3|=a的根的个数问题,再转化为函数f(x)=|x2-2x-3|与函数f(x)=a交点个数问题. 解：设f(x)=|x2-2x-3|和f(x)=a分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5)，它们交点的个数，即函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数.

图3-1-1-5 (1)若函数有两个零点，则a=0或a>4. (2)若函数有三个零点，则a=4. (3)函数有四个零点,则0

1.判断函数y=|x-1|-2零点的个数. 解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数,作出函数图象(图3-1-1-6)，

图3-1-1-6 函数y=|x-1|-2的图象与x轴有两个交点，所以函数y=|x-1|-2有两个零点. 2.求证：函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点. 证法一:因为一元二次方程2x2-3x-2=0的判别式Δ=32+4×2×2=25>0, 2所以一元二次方程2x-3x-2=0有两个不相等的实根，所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点. 证法二:因为一元二次方程2x2-3x-2=0可化为(2x+1)(x-2)=0, 所以一元二次方程2x2-3x-2=0有两个不相等的实根x1=2,x2=

所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点. 证法三:因为函数f(x)=2x2-3x-2的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方,即f(0)=-2<0,所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.如图3-1-1-6. 1. 2图3-1-1-7 点评：判断函数零点个数可以结合函数的图象. 方法：零点函数方程的根两图象交点. 数学思想：转化思想和数形结合思想. 例2若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内，求a的取值范围.

活动：学生自己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价. 如果用求根公式与判别式来做，运算量很大,能否将问题转化？借助二次函数的图象，从图象中抽出与方程的根有关的关系式，使得问题解答大大简化.引导学生画出函数的图象观察分析. 解：设f(x)=3x2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线,如图3-1-1-8：

图3-1-1-8 因为f(x)=0的两根分别在区间(-2，0)、(1，3)内，

f(2)0,22a0,f(0)0,a0,所以即故所求a的取值范围是-12

关于x的方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,求实数a的取值范围. 解：设f(x)=x2-ax+a2-7,图象为开口向上的抛物线(如图3-1-1-9). 因为方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2, 所以函数f(x)=x2-ax+a2-7的零点一个大于2，另一个小于2. 即函数f(x)=x2-ax+a2-7的图象与x轴的两个交点在点(2，0)的两侧. 只需f(2)<0,即4-2a+a2-7<0,所以-1

课堂小结

本节学习了:①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用. 学习方法：由特殊到一般的方法. 数学思想：转化思想、数形结合思想. 作业

课本P88练习1.

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