习题2.2教学内容分析

对数与对数函数

（第2课时）

榆次四中 关琼- 1 -

2.6 对数与对数函数(第2课时)

榆次四中 关琼

【考纲解读】

考

点

对数运算

1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式. 对数函数的图象和性质

2．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 3.了解对数函数的变化特征. 考纲内容

分析预测

1.对数运算；

2.对数函数的图象和性质及其应用. 3.备考重点：

（1）对数运算

（2）对数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；

（3）图象过定点；

（4）底数分类讨论问题. 【知识清单】

1.对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0， ＋∞).

(2)对数函数的图象与性质

a>1

0

定义域：(0，＋∞)

值域：R

性质

当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0；

当0

对点练习

当x>1时，y<0；

当00 在(0，＋∞)上是减函数

【2017天津，理6】已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为

（A）abc

（B）cba

（C）bac

- 2 -

（D）bca

【答案】C

所以bac，故选C．

【考点深度剖析】

从近几年的高考试题来看，对数函数的图象和性质及其应用是高考的热点，题型多以选择题、填空题为主，偶尔有以大题中关键一步的形式出现，主要考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等. 另外底数多含参数、考查分类讨论．常常以分段函数的形式与指数函数综合考查. 【重点难点突破】

考点1 对数函数的图象及其应用

【1-1】【2017河南郑州一模】若函数y＝a(a0，且a1)的值域为y|y1，则函数xy＝logax的图象大致是(

)

【答案】B

【1-2】【2017河北衡水调研】已知函数f(x)log2x,x03,x0x，且关于x的方程fx＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________. 【答案】a1

【解析】如图，在同一坐标系中分别作出y＝fx与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距. - 3 -

由图可知，当a1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点.

1x【1-3】当0＜x≤时，4＜logax，则a的取值范围是(

) 2A.0，22

B.，1

22C．(1，2) D．(2，2) 【答案】B 综上，可得a的取值范围是2，1. 2

x0,log1x,2【1-4】已知函数f(x)若关于的方程f(x)k有两个不等的实根，则实xx0,2,数的取值范围是 ( ) A．(0,) B．(,1) C．(1,) D．(0,1]

- 4 -

【答案】D 【解析】在x(,0]时，f(x)是增函数，值域为(0,1]，在x(0,)时，f(x)是减函数，值域是(,)，因此方程f(x)k有两个不等实根，则有k(0,1]. 【领悟技法】

1. ylogax的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线x1的右侧，a1时，底大图低（靠近x轴）；0a1时，底大图高（靠近x轴）．（2）左右比较（比较图象与y1的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.

2. 涉及对数函数的定义域问题，要考虑底数大于零且不为1，真数大于零．

3.涉及对数函数单调性问题，要注意底数的不同取值情况．

【触类旁通】

【变式一】【2017河南（中原名校）模拟】若函数fxlogax2(a0,a1)的两个零x点是m,n，则（ ）

A. mn1 B. mn1 C. mn1 D. 以上都不对

【答案】C - 5 -

【解析】

11logamn0，所以0mn1，应选答案C。

22

2f(x)ln(x2x8)

的单调递增区间是

【变式二】【2017课标II】函数nmA.(,2) B. (,1) C. (1,) D. (4,) 【答案】D 【解析】函数有意义，则：x22x80

，解得：x2

或x4

，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为4, . 故选D. 考点2 对数函数性质及其应用

【2-1】若loga(a2＋1)loga2a0，则a的取值范围是(

) A.(0，1)

1B.0，

2D.(0，1)∪(1，＋∞)

1C.，1 2【答案】C

- 6 -

【2-2】函数f(x)log2【答案】xlog2(2x)的最小值为_________. 1

421112【解析】fxlog2x2logx1logxlogxlogx2222

224所以，当log2x所以答案应填：【领悟技法】

1. 比较两个对数值的大小，若同底数，考虑应用函数的单调性；若底数不同，首先化同底数. 2.对数函数的定义域、值域问题，要考虑底数大于零且不为1，真数大于零．

3.数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想的应用，是本节的一突出特点．

【触类旁通】

【变式一】【2017课标1】已知函数f(x)lnxln(2x)，则

112，即x时，fx取得最小值. 2421. 4A．f(x)在（0，2）单调递增

B．f(x)在（0，2）单调递减

C．y=f(x)的图像关于直线x=1对称

称

【答案】C

D．y=f(x)的图像关于点（1，0）对【变式二】若f(x)＝lg(x－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________. 【答案】[1，2) 【解析】令函数g(x)＝x－2ax＋1＋a＝(x－a)＋1＋a－a，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有1）＞0，a＞0，g（2－即解得1≤a＜2，即a∈[1，2).．

a≥1，a≥1，2222【变式三】已知函数fx＝loga(8－ax) (a>0，且a≠1)，若fx1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________. - 7 -

83【解析】当a1时，fx＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由fx1在区间[1，2]【答案】(1,)

上恒成立，

则fxmin＝loga(8－2a)1，解之得1a数，

由fx1在区间[1，2]上恒成立，

则fxmin＝loga(8－2a)1，且8－2a0. ∴a4，且a4，故不存在. 综上可知，实数a的取值范围是(1,). 【学科素养提升之思想方法篇】

数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想

我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.

8。若0a1时，fx在[1，2]上是增函383- 8 -