习题2.1教学设计与反思

第五节

指数与指数函数

[高考考情] 高考试题

2016·全国卷Ⅲ·T7

2013·全国卷Ⅱ·T12

核心考点

指数与指数函数

考查内容

指数式比较大小

利用指数函数单调性求解参数范围

核心素养

数学运算

指数函数

数学运算

[基础梳理] 1．根式的两个重要公式

a，n为奇数，nna，a≥0，(1)a＝|a|＝－a，a＜0，n＝a(n∈N*)．

(2)a2．分数指数幂的意义

mn(1)正分数指数幂：an＝m-(2)负分数指数幂：an＝n

amn为偶数；

am(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

m＝11n(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

an(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．

3．有理指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

上述运算性质，对于无理数指数幂也适用．

4．指数函数的图象与性质

a>1

0

1

图象

定义域

值域

R

(0，＋∞)

过定点(0,1)

性质

当x>0时，y>1

当x<0时，0

在R上是增函数

思考辨析

判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) nnn都等于a(n∈N*)．(

) (1)an与an(2)当n∈N*时，(－3)n都有意义．(

) (3)分数指数幂mman可以理解为个

当x>0时，01 在R上是减函数

na相乘．(

) (4)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(

) (5)若am0且a≠1)，则m

) 1．辨明三个易误点

(1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等．

(2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a>1或0

(3)在解形如a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．

2．指数函数的图象与底数大小的比较

2

图2-5-1 如图2-5-1是指数函数：(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此有以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．

[小题快练] 11．(教材改编题)化简[(－2)6]2－(－1)0的结果为(

) A．－9

B．7

C．－10

D．9 2．函数f(x)＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点(

) A．(0,1) C．(2,0) B．(1,1) D．(2,2) 3．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(

)

4．下列若指数函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________．

题型

指数函数的图象及其应用

考情分析

指数函数的图象是研究指数函数性质的基础，高考以考查指数函数图象的辨析及应用为主，以选择题、填空题的形式考查，属容易题. [考题在线] 1．(2018·南充模拟)函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是(

)

A

B

C

D 2．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是__________.

【导学号：50216041】

3

一题多变

11．若将题1变为：若函数y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象可能是(

)

A

B

C

D 2．若将题2变为：若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是__________．

指数函数的图象及应用

(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．

(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．

[通关训练] 1．函数f(x)＝ax－b的图象如图2-5-2所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

)

图2-5-2 A．a>1，b<0

C．00 B．a>1，b>0 D．0

考情分析

指数函数的性质及其应用在高考中出现的频率较高，但难度不大．注意是考查与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性，与前面所讲一般函数的求解方法一致．

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[多维突破] 命题点1 比较大小问题

设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(

) A．a

C．b

B．a

D．b

[名师点拨]

比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．

命题点2 解简单的指数不等式或方程问题

设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝3x－9，则f(x－3)>0的解集是(

) A．{x|x<－2或x>2} C．{x|x<0或x>6}

B．{x|x<－2或x>4} D．{x|x<1或x>5} [名师点拨]

求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

命题点3 利用指数函数的性质求参数范围问题

若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是__________.

[名师点拨]

解答本题关键是将不等式合理变形，通过数形结合巧妙的将问题转化为两个函数图象之间的关系求解．

[通关训练] 12.51．已知a＝2，b＝2.5，c＝2，则a，b，c的大小关系是(

) 2.50A．a>c>b

C．b>a>c

B．c>a>b

D．a>b>c

x4，x≥0，2．(2017·福州模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝a－x若f(1－a)＝f(a－2，x＜0，

1)，则a的值为__________．

3．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝__________. 5